Giải giúp mình Câu 3. Một trường THPT Chuyên cử một đội tuyển gồm 90 học sinh tham dự kỳ thi Học sinh giỏi cấp Quốc,gia. Đội tuyển có cả học sinh nam và học sinh nữ. Sau kỳ thi, kết quả thống kê cho thấy có 85 học sinh đạt,huy chương. Thông tin chi tiết như sau:,0 Trong tổng số 90 học sinh, có 50 học sinh nam và 40 học sinh nữ.,a Trong số 85 học sinh đạt huy chương, có 48 học sinh nam.,Chọn ngẫu nhiên một học sinh từ đội tuyển sau khi cuộc thi kết thúc.,a) Xác suất chọn được một học sinh nữ là $\frac49$,b) Xác suất chọn được một học sinh nam đạt huy chương là $\frac7{15}$,c) Biết rằng học sinh được chọn là nam, xác suất học sinh đó đạt huy chương là $\frac{24}{25}.$,d) Biết rằng học sinh được chọn đã đạt huy chương, xác suất học sinh đó là nữ là $\frac{37}{85}$,Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có $A(0;0;0),B(3;0;0),~D(0;3;0).$,A'(0,0,3). Gọi P là trung điểm B'C', K là điểm thuộc mặt phẳng (Oxz).,a) Tọa độ điểm C là (3;3,0),b) Trọng tâm của tam giác PCD có tọa độ là $(2,\frac54;1).$,c) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|\overline K\overline P+\overline{KC}+\overline{KD}|$ là $\frac52.$,d) Góc giữa hai đường thẳng AP và BC' bằng 60".

Question

Accepted Answer

Câu 3.
a) Xác suất chọn được một học sinh nữ:
$$
P(\text{nữ}) = \frac{\text{số học sinh nữ}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}
$$

b) Xác suất chọn được một học sinh nam đạt huy chương:
$$
P(\text{nam đạt huy chương}) = \frac{\text{số học sinh nam đạt huy chương}}{\text{tổng số học sinh}} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}
$$

c) Biết rằng học sinh được chọn là nam, xác suất học sinh đó đạt huy chương:
$$
P(\text{đạt huy chương} | \text{nam}) = \frac{\text{số học sinh nam đạt huy chương}}{\text{số học sinh nam}} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25}
$$

d) Biết rằng học sinh được chọn đã đạt huy chương, xác suất học sinh đó là nữ:
$$
P(\text{nữ} | \text{đạt huy chương}) = \frac{\text{số học sinh nữ đạt huy chương}}{\text{số học sinh đạt huy chương}} = \frac{37}{85}
$$

Đáp số:
a) $\frac{4}{9}$
b) $\frac{8}{15}$
c) $\frac{24}{25}$
d) $\frac{37}{85}$

Câu 4.
a) Tọa độ điểm C là (3;3,0)

- Vì ABCD là hình vuông cạnh 3 nên C có tọa độ (3;3,0).

b) Trọng tâm của tam giác PCD có tọa độ là $(2,\frac{5}{4};1)$

- P là trung điểm của B'C' nên P có tọa độ $\left(\frac{3+3}{2}, \frac{0+3}{2}, \frac{0+3}{2}\right) = (3, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$.
- Trọng tâm của tam giác PCD là trung điểm của ba đỉnh P, C và D. 
- Tọa độ trọng tâm là $\left(\frac{3 + 3 + 0}{3}, \frac{\frac{3}{2} + 3 + 3}{3}, \frac{\frac{3}{2} + 0 + 0}{3}\right) = (2, \frac{5}{4}, 1)$.

c) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|\overline{KP} + \overline{KC} + \overline{KD}|$ là $\frac{5}{2}$

- K thuộc mặt phẳng (Oxz) nên K có tọa độ (x, 0, z).
- Ta có $\overline{KP} = (3 - x, \frac{3}{2}, \frac{3}{2} - z)$, $\overline{KC} = (3 - x, 3, -z)$, $\overline{KD} = (-x, 3, -z)$.
- Biểu thức $|\overline{KP} + \overline{KC} + \overline{KD}| = |(9 - 3x, \frac{15}{2}, \frac{9}{2} - 3z)|$.
- Để giá trị nhỏ nhất, ta chọn $x = 3$ và $z = \frac{3}{2}$, suy ra $|\overline{KP} + \overline{KC} + \overline{KD}| = |\left(0, \frac{15}{2}, 0\right)| = \frac{15}{2}$.

d) Góc giữa hai đường thẳng AP và BC' bằng 60°

- Vector $\overrightarrow{AP} = (3, \frac{3}{2}, \frac{3}{2})$, vector $\overrightarrow{BC'} = (0, 3, 3)$.
- Tích vô hướng $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC'} = 3 \times 0 + \frac{3}{2} \times 3 + \frac{3}{2} \times 3 = 9$.
- Độ dài $\overrightarrow{AP} = \sqrt{3^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
- Độ dài $\overrightarrow{BC'} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
- $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BC'}}{|\overrightarrow{AP}| |\overrightarrow{BC'}|} = \frac{9}{3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
- Vậy góc $\theta = 60^\circ$.