Câu 3.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xác định xác suất của các biến cố liên quan và sử dụng các công thức xác suất điều kiện.
Gọi:
- là xác suất tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe.
- là xác suất tài xế gây tai nạn.
- là xác suất tài xế gây tai nạn khi biết rằng tài xế sử dụng điện thoại di động.
- là xác suất tài xế sử dụng điện thoại di động khi biết rằng tài xế đã gây tai nạn.
Theo đề bài:
-
-
Chúng ta cần kiểm tra từng lựa chọn:
a)
là xác suất tài xế không sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Ta có:
Vậy, là sai.
b)
Theo đề bài, là đúng.
c)
Công thức này đúng theo định nghĩa xác suất điều kiện:
Do đó:
d) Việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe ở thành phố X làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5 lần.
Ta cần tính để kiểm tra điều này. Giả sử là xác suất tài xế gây tai nạn trong tổng thể, ta có:
Giả sử là xác suất tài xế gây tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta cần biết thêm thông tin về .
Tuy nhiên, nếu giả sử là xác suất tài xế gây tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động là , ta có:
Để việc sử dụng điện thoại di động làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5 lần, ta cần:
Vậy:
Do đó, và , việc sử dụng điện thoại di động làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5 lần là đúng.
Kết luận:
- Đáp án đúng là b) và d) Việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe ở thành phố X làm tăng xác suất gây tai nạn lên 5 lần.
Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định biến và biểu thức lợi nhuận
- Gọi là diện tích trồng rau R1 (đơn vị: )
- Gọi là diện tích trồng rau R2 (đơn vị: )
Biểu thức lợi nhuận thu được:
Bước 2: Xác định điều kiện ràng buộc
- Diện tích đất:
- Vốn đầu tư:
- Điều kiện không âm: và
Bước 3: Xác định tập phương án Q
Tập phương án Q là tập hợp các điểm thỏa mãn các điều kiện ràng buộc trên. Ta vẽ các đường thẳng đại diện cho các điều kiện này trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
1. Đường thẳng :
- Khi ,
- Khi ,
2. Đường thẳng :
- Khi ,
- Khi ,
Bước 4: Tìm giao điểm của các đường thẳng
Giao điểm của và :
Giải hệ phương trình:
- Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3:
- Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai:
Thay vào :
Vậy giao điểm là .
Bước 5: Xác định các đỉnh của tập phương án Q
Các đỉnh của tập phương án Q là:
-
-
-
Bước 6: Tính lợi nhuận tại các đỉnh
- Tại :
- Tại :
- Tại :
Kết luận
Lợi nhuận cao nhất mà An thu được là 480 ngàn đồng, đạt được khi trồng 80 rau R1 và 120 rau R2.
Câu 1.
Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg.
Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ hai là mg.
Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ ba là mg.
Cứ như vậy, ta thấy rằng lượng thuốc trong máu mỗi ngày giảm đi một nửa so với ngày trước đó.
Ta có thể viết dãy số lượng thuốc trong máu theo từng ngày như sau:
Ngày thứ nhất: 50 mg
Ngày thứ hai: 25 mg
Ngày thứ ba: 12.5 mg
...
Ngày thứ mười: mg
Tổng lượng thuốc đã được đưa vào trong máu của bệnh nhân sau 10 ngày liên tiếp là:
Đây là một dãy số hình học với số hạng đầu tiên và công bội .
Công thức tính tổng của dãy số hình học là:
Áp dụng vào bài toán này:
Kết quả làm tròn đến hàng phần mười:
Đáp số: 99.9 mg
Câu 2.
Để tính thể tích của tứ diện ABCD, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm độ dài cạnh của tam giác đều ABD và ACD:
- Tam giác đều ABD và ACD có diện tích bằng .
- Diện tích của tam giác đều với cạnh là được tính bằng công thức:
- Do đó, ta có:
- Giải phương trình này để tìm :
2. Tính chiều cao của tam giác đều ABD và ACD:
- Chiều cao của tam giác đều với cạnh là:
3. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC):
- Vì , nên khoảng cách từ D đến (ABC) chính là độ dài đoạn thẳng AD.
- Ta biết rằng tam giác ABD và ACD đều là tam giác đều với cạnh 2, do đó:
4. Tính diện tích đáy (ABC):
- Tam giác ABC cũng là tam giác đều với cạnh 2, do đó diện tích của nó là:
5. Tính thể tích của tứ diện ABCD:
- Thể tích của một tứ diện được tính bằng công thức:
- Ở đây, đáy là tam giác ABC và khoảng cách từ đỉnh D đến đáy là AD:
Do đó, thể tích của tứ diện ABCD là 1.
Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là 1.00.
Câu 3.
Để tìm số mặt phẳng cách đều bốn điểm , , và , ta thực hiện các bước sau:
1. Kiểm tra tính đồng phẳng của bốn điểm:
- Ta kiểm tra xem bốn điểm này có đồng phẳng hay không bằng cách tính thể tích của hình hộp chữ nhật tạo bởi các vectơ , và .
Vectơ
Vectơ
Vectơ
Thể tích của hình hộp chữ nhật:
Tính định thức:
Vì thể tích , nên bốn điểm không đồng phẳng.
2. Tìm mặt phẳng cách đều bốn điểm:
- Nếu bốn điểm không đồng phẳng, thì chỉ có thể tồn tại một mặt phẳng duy nhất cách đều chúng. Mặt phẳng này sẽ đi qua tâm của khối đa diện do bốn điểm tạo thành.
3. Tính tâm của khối đa diện:
- Tâm của khối đa diện là trung điểm của đoạn thẳng nối hai cặp điểm bất kỳ trong bốn điểm.
Trung điểm của và :
Trung điểm của và :
Trung điểm của và :
Vậy tâm của khối đa diện là .
4. Kết luận:
- Chỉ có một mặt phẳng duy nhất cách đều bốn điểm .
Đáp số: 1 mặt phẳng.
Câu 4.
Đầu tiên, ta cần chuyển đổi đơn vị tốc độ từ km/h sang m/s để dễ dàng tính toán hơn.
Tốc độ ban đầu của xe:
Thời gian để xe dừng hẳn:
Vì xe chạy chậm dần đều, nên gia tốc của xe là:
Bây giờ, ta sẽ tính quãng đường mà xe chạy được trong 1 phút (60 giây) trước khi dừng hẳn. Ta chia thời gian này thành hai phần: thời gian xe chạy chậm dần đều (20 giây) và thời gian xe đã dừng hẳn (40 giây).
Quãng đường xe chạy trong 20 giây đầu tiên:
Trong 40 giây tiếp theo, xe đã dừng hẳn, nên quãng đường xe chạy thêm là 0 mét.
Vậy tổng quãng đường xe chạy được trong 1 phút trước khi dừng hẳn là:
Đáp số: 150 mét.