Câu 7:
Để xác định số điểm cực trị của hàm số dựa vào bảng xét dấu của , chúng ta cần kiểm tra các điểm mà tại đó thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương.
Bảng xét dấu của cho thấy:
- thay đổi dấu từ dương sang âm tại .
- thay đổi dấu từ âm sang dương tại .
- thay đổi dấu từ dương sang âm tại .
Như vậy, tại các điểm , , và , hàm số có các điểm cực trị.
Do đó, số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3.
Đáp án đúng là: D. 3.
Câu 8:
Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Hàm số có mẫu số là . Để hàm số có nghĩa, mẫu số phải khác 0.
- Do đó, ta có điều kiện: .
- Điều này luôn đúng vì .
2. Tìm tiệm cận đứng:
- Tiệm cận đứng của hàm số phân thức là các giá trị của làm cho mẫu số bằng 0.
- Trong trường hợp này, mẫu số là , và nó không phụ thuộc vào biến . Do đó, không có giá trị nào của làm cho mẫu số bằng 0.
3. Kết luận:
- Vì không có giá trị nào của làm cho mẫu số bằng 0, nên hàm số không có tiệm cận đứng.
Do đó, trong các đáp án đã cho, không có đường thẳng nào là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
Câu 9:
Để tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định đạo hàm của hàm số .
Đạo hàm của :
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích:
Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình .
Phương trình này có hai trường hợp:
1.
2.
Bước 3: Giải phương trình .
có thể xảy ra khi là hằng số. Tuy nhiên, trong ngữ cảnh của bài toán, chúng ta cần xem xét các khả năng khác.
Bước 4: Giải phương trình .
Bước 5: Xác định tính chất của các điểm cực trị.
Để xác định tính chất của các điểm cực trị, chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm của phương trình .
- Khi , . Do đó, có cùng dấu với .
- Khi , . Do đó, có cùng dấu với .
Từ đây, chúng ta thấy rằng là điểm cực đại của hàm số .
Kết luận: Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại.
Đáp án đúng là: A. 1.
Câu 10:
Cấp số cộng với và có nghĩa là chúng ta có hai số hạng liên tiếp trong cấp số cộng là 6 và -9. Để tìm công sai của cấp số cộng, ta lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng thứ nhất.
Công sai .
Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có đáp án nào đúng là -15. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc lỗi trong đề bài. Tuy nhiên, dựa trên thông tin đã cho, công sai của cấp số cộng là -15.
Đáp án: E. -15 (không có trong các lựa chọn đã cho).
Câu 11:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng 2 người nữ từ tổ gồm x nam và 7 nữ.
Bước 1: Tính tổng số cách chọn 3 người từ tổ gồm x nam và 7 nữ.
Tổng số người trong tổ là . Số cách chọn 3 người từ người là:
Bước 2: Tính số cách chọn đúng 2 người nữ và 1 người nam.
Số cách chọn 2 người nữ từ 7 người nữ là:
Số cách chọn 1 người nam từ x người nam là:
Vậy số cách chọn đúng 2 người nữ và 1 người nam là:
Bước 3: Tính xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng 2 người nữ.
Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng 2 người nữ là:
Bước 4: So sánh với các đáp án đã cho.
Ta thấy rằng đáp án có dạng phân số đơn giản và phù hợp với yêu cầu của bài toán. Do đó, chúng ta sẽ kiểm tra lại các bước trên để đảm bảo tính toán chính xác.
Kết luận: Đáp án đúng là .
Đáp số:
Câu 12:
Đầu tiên, ta cần kiểm tra lại đề bài vì đoạn không hợp lý. Ta sẽ giả sử đề bài có lỗi và giả sử đoạn là .
Hàm số đã cho là:
Rút gọn biểu thức:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số , ta sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực tiểu.
Tính đạo hàm của :
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở hai bên điểm :
- Khi ,
- Khi ,
Do đó, là điểm cực tiểu của hàm số.
Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
Đáp án đúng là:
Nhưng theo tính toán, giá trị nhỏ nhất của hàm số là . Do đó, có thể đề bài có lỗi hoặc đáp án không chính xác.
Câu 1:
a) Đạo hàm :
- Trên khoảng : vì đồ thị hàm số tăng.
- Trên khoảng : vì đồ thị hàm số giảm.
- Trên khoảng : vì đồ thị hàm số tăng.
- Trên khoảng : vì đồ thị hàm số giảm.
b) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị:
- Điểm cực đại tại vì đổi dấu từ dương sang âm.
- Điểm cực tiểu tại vì đổi dấu từ âm sang dương.
c) Hàm số đồng biến trên đoạn :
- Trên đoạn , đồ thị hàm số tăng, do đó . Vì vậy, hàm số đồng biến trên đoạn này.
d) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 7:
- Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là .
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là .
- Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là .
Đáp án:
a) Đạo hàm : Trên khoảng : ; Trên khoảng : ; Trên khoảng : ; Trên khoảng : .
b) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị: Điểm cực đại tại và điểm cực tiểu tại .
c) Hàm số đồng biến trên đoạn .
d) Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 7.
Câu 2:
a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng.
- Từ bảng biến thiên, ta thấy khi tiến đến từ bên trái (), giá trị của tiến đến .
- Khi tiến đến từ bên phải (), giá trị của tiến đến .
Do đó, đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
Đáp số: Tiệm cận đứng: .