Giải giúp tôi

Câu 1: Để tìm nguyên hàm của hàm số $$, chúng ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $$ Trong trường hợp này, $$. Do đó, ta có: $$ Vậy, nguyên hàm của hàm số $$ là: $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 2: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $$ và trục Ox, ta cần chia hình phẳng thành các phần nhỏ hơn và tính diện tích từng phần rồi cộng lại. Trong hình vẽ, ta thấy rằng: - Phần gạch sọc từ $$ đến $$ nằm phía trên trục Ox, do đó diện tích của phần này sẽ là tích phân dương của $$ từ $$ đến $$. - Phần gạch sọc từ $$ đến $$ nằm phía dưới trục Ox, do đó diện tích của phần này sẽ là tích phân âm của $$ từ $$ đến $$. Do đó, diện tích tổng S sẽ là: $$ Từ đó, ta có: $$ Vậy mệnh đề đúng là: $$ Câu 3: Để tính số trung bình của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của mỗi khoảng thời gian: - Khoảng $$: Trung điểm là $$ - Khoảng $$: Trung điểm là $$ - Khoảng $$: Trung điểm là $$ - Khoảng $$: Trung điểm là $$ - Khoảng $$: Trung điểm là $$ - Khoảng $$: Trung điểm là $$ 2. Nhân số lượng học sinh trong mỗi khoảng với trung điểm tương ứng: - Khoảng $$: $$ - Khoảng $$: $$ - Khoảng $$: $$ - Khoảng $$: $$ - Khoảng $$: $$ - Khoảng $$: $$ 3. Tính tổng số học sinh: Tổng số học sinh = $$ 4. Tính tổng các giá trị đã nhân: Tổng các giá trị = $$ 5. Tính số trung bình của mẫu số liệu: Số trung bình = $$ Do đó, số trung bình của mẫu số liệu là 24,75 phút. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là: C. 25 Vậy đáp án đúng là: C. 25 Câu 4: Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm $$ và có một vectơ chỉ phương $$, ta sử dụng công thức của phương trình đường thẳng trong không gian. Phương trình đường thẳng đi qua điểm $$ và có vectơ chỉ phương $$ là: $$ Áp dụng vào bài toán: - Điểm $$ có $$, $$, $$ - Vectơ chỉ phương $$ có $$, $$, $$ Thay vào công thức trên, ta có: $$ Do đó, phương trình của đường thẳng là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 5: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $$, ta có thể xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số như sau: 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng khi $$ tiến đến một giá trị cố định nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $$ tiến đến $$, giá trị của $$ tiến đến $$ hoặc $$. Do đó, $$ là đường tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang là đường thẳng ngang mà hàm số tiến đến khi $$ tiến đến dương vô cực hoặc âm vô cực. - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng khi $$ tiến đến $$, giá trị của $$ tiến đến $$. Do đó, $$ là đường tiệm cận ngang. - Tương tự, khi $$ tiến đến $$, giá trị của $$ cũng tiến đến $$. Do đó, $$ vẫn là đường tiệm cận ngang. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $$ là: - Số đường tiệm cận đứng: 1 (đường $$) - Số đường tiệm cận ngang: 1 (đường $$) Vậy tổng số đường tiệm cận là: $$ Đáp án đúng là: B. 2. Câu 6: Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $$ có thể viết thành $$. Do đó, phương trình trở thành: $$ 2. So sánh các mũ: Vì hai lũy thừa có cùng cơ số, ta có thể so sánh các mũ của chúng: $$ 3. Rearrange the equation to standard form: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai: $$ $$ 4. Giải phương trình bậc hai: Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $$: $$ Với $$, $$, và $$, ta có: $$ $$ $$ $$ 5. Tìm các nghiệm: Ta có hai nghiệm: $$ $$ 6. Tổng các nghiệm: Tổng của các nghiệm $$ và $$ là: $$ Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $$. Đáp án đúng là: $$. Câu 7: Mặt phẳng $$ có một vectơ pháp tuyến là $$. Do đó, đáp án đúng là: A. $$ Đáp án: A. $$ Câu 8: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD-A'B'C'D', các cạnh AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A' đều song song với nhau và vuông góc với các mặt của lập phương. Ta xét góc giữa hai đường thẳng BA' và CD: - Đường thẳng BA' nằm trong mặt phẳng ABB'A'. - Đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng ABCD. Do đó, để tìm góc giữa hai đường thẳng này, ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng song song với chúng và nằm trong cùng một mặt phẳng. Ta có thể lấy đường thẳng A'D' song song với CD và nằm trong mặt phẳng A'B'C'D'. Góc giữa hai đường thẳng BA' và A'D' chính là góc giữa hai đường thẳng BA' và CD. Trong mặt phẳng A'B'C'D', đường thẳng BA' và A'D' tạo thành một tam giác đều với cạnh là các cạnh của lập phương. Vì vậy, góc giữa hai đường thẳng này là 60°. Vậy góc giữa hai đường thẳng BA' và CD là 60°. Đáp án đúng là: B. 60°.