Cho tam giác A B C nhọn ( A B < A C ) . Gọi D là trung điểm của cạnh B C . Trên tia đối của tia D A lấy E sao cho D A = D E . Kẻ B M vuông góc với A D tại M , C N vuông góc với D E tại N a . Chứng minh...

Hà nhân

a. Chứng minh ΔABD = ΔECD và AB // CE

• Xét ΔABD và ΔECD, ta có:
• AD = DE (giả thiết)
• BD = DC (D là trung điểm BC)
• ∠ADB = ∠EDC (đối đỉnh)
• Vậy ΔABD = ΔECD (c.g.c)
• Suy ra ∠ABD = ∠ECD (hai góc tương ứng)
• Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // CE.

b. Chứng minh BM // CN và BM = CN

• Vì BM ⊥ AD và CN ⊥ DE, mà AD và DE nằm trên cùng một đường thẳng nên BM // CN.
• Xét ΔBMD và ΔCNE, ta có:
• ∠BMD = ∠CNE = 90°
• BD = DC (D là trung điểm BC)
• ∠BDM = ∠CEN (do ΔABD = ΔECD)
• Vậy ΔBMD = ΔCNE (g.c.g)
• Suy ra BM = CN (hai cạnh tương ứng)

c. Chứng minh ba điểm O, D, I thẳng hàng

• Gọi giao điểm của AH và EK là P.
• Xét tứ giác AHKE, ta có:
• ∠AHE = ∠AKE = 90°
• Suy ra tứ giác AHKE nội tiếp được đường tròn.
• Do đó, ∠HAK = ∠HEK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HK)
• Mà ∠HAK = ∠OAD và ∠HEK = ∠IED (đối đỉnh)
• Suy ra ∠OAD = ∠IED
• Xét ΔOAD và ΔIED, ta có:
• AD = DE (giả thiết)
• ∠OAD = ∠IED (chứng minh trên)
• ∠ODA = ∠EDI (đối đỉnh)
• Vậy ΔOAD đồng dạng ΔIED (g.g)
• Suy ra ∠AOD = ∠EID
• Mà ∠AOD + ∠BOD = 180° (kề bù)
• Nên ∠EID + ∠BOD = 180°
• Suy ra O, D, I thẳng hàng.