Giải hộ mk đề thi chuyên toán Hà Nội

Câu I: 1) Điều kiện xác định: $$ Ta có: $$ Bình phương hai vế: $$ $$ $$ $$ $$ Bình phương tiếp: $$ $$ $$ $$ Giải phương trình bậc bốn này, ta tìm được nghiệm $$. Thử lại: $$ $$ $$ Vậy phương trình vô nghiệm. 2) Ta có: $$ $$ $$ Cộng ba phương trình trên: $$ $$ $$ Từ đây suy ra: $$ Thay vào phương trình đầu tiên: $$ $$ $$ $$ Tương tự, thay vào phương trình thứ hai: $$ $$ Tương tự, thay vào phương trình thứ ba: $$ $$ Nhân ba phương trình trên: $$ $$ Chia cả hai vế cho $$: $$ Do đó: $$ Câu II: 1) Ta có $$. Do $$ chia hết cho 6 nên $$ chia hết cho 3 và $$ chia hết cho 3. Từ đây ta suy ra $$ chia hết cho 3. Mặt khác $$. Do đó $$ chia hết cho 3. Lại có $$ chia hết cho 2 nên $$ chia hết cho 2. Do đó $$ chia hết cho 2. Vậy $$ chia hết cho 6. Ta lại có $$ chia hết cho 3 nên $$ chia hết cho 3. Vậy $$ chia hết cho 54. 2) Ta có $$. Chuyển vế và nhóm các hạng tử ta được $$. Chuyển vế và nhóm các hạng tử ta được $$. Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu III: 1) Ta có $$ $$ Do đó $$ Từ đây ta thấy $$ là tổng của ba số chính phương. Mặt khác $$ Nếu $$ thì $$ là tổng của hai số chính phương. Nếu $$ thì $$ Nếu $$ thì $$ là tổng của hai số chính phương. Vậy $$ là tổng của ba số chính phương. Ta có $$ Nếu $$ thì $$ là tổng của ba số chính phương. Nếu $$ thì $$ Nếu $$ thì $$ là tổng của ba số chính phương. Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác. Câu IV: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh tam giác AEK đồng dạng với tam giác ABM. - Xét tam giác AEK và tam giác ABM, ta cần chứng minh rằng hai tam giác này có các góc tương ứng bằng nhau. - Do M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. - Ta có: $$ (cùng chắn cung $$ và $$ trên đường tròn (O)). - Ngoài ra, vì K nằm trên đường thẳng IM, nên $$ (góc đối đỉnh). - Do đó, tam giác AEK đồng dạng với tam giác ABM theo trường hợp góc-góc (AA). 2) Chứng minh bốn điểm A, T, H và M cùng thuộc một đường tròn. - Để chứng minh bốn điểm A, T, H và M cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng $$. - Xét đường thẳng SI cắt MQ tại T, ta có: $$ (góc đối đỉnh). - Vì M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH, nên MI là đường trung bình của tam giác AHC. - Do đó, $$ (cùng chắn cung $$ trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC). - Vậy, bốn điểm A, T, H và M cùng thuộc một đường tròn. 3) Chứng minh ba điểm A, K và P là ba điểm thẳng hàng. - Tia TH cắt đường tròn (O) tại điểm P, ta cần chứng minh rằng A, K, P thẳng hàng. - Từ phần 1, ta đã có tam giác AEK đồng dạng với tam giác ABM, do đó $$. - Vì K nằm trên đường thẳng IM, nên $$ (góc đối đỉnh). - Do đó, ba điểm A, K và P thẳng hàng theo định lý Thales đảo. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Câu V: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần chứng minh sự tồn tại của các tam giác đều có kích thước nhất định có thể phủ một số lượng điểm nhất định trong 2023 điểm đã cho trong hình vuông cạnh 1. Phần 1: Tam giác đều cạnh $$ 1. Diện tích của tam giác đều cạnh $$: Diện tích của một tam giác đều cạnh $$ được tính bằng công thức: $$ Với $$, ta có: $$ 2. Diện tích của hình vuông cạnh 1: Diện tích của hình vuông là $$. 3. Số lượng tam giác đều cần thiết để phủ toàn bộ hình vuông: Chia diện tích hình vuông cho diện tích của một tam giác đều: $$ Số lượng tam giác cần thiết để phủ toàn bộ hình vuông là xấp xỉ $$. Do đó, cần ít nhất 5 tam giác đều để phủ toàn bộ hình vuông. 4. Số điểm trung bình mỗi tam giác phủ: Nếu 5 tam giác đều phủ toàn bộ 2023 điểm, thì trung bình mỗi tam giác phủ: $$ Do đó, ít nhất một tam giác sẽ phủ ít nhất 405 điểm. 5. Kết luận: Tồn tại một tam giác đều cạnh $$ phủ ít nhất 405 điểm trong 2023 điểm đã cho. Phần 2: Tam giác đều cạnh $$ 1. Diện tích của tam giác đều cạnh $$: Với $$, diện tích là: $$ 2. Số lượng tam giác đều cần thiết để phủ toàn bộ hình vuông: Chia diện tích hình vuông cho diện tích của một tam giác đều: $$ Số lượng tam giác cần thiết để phủ toàn bộ hình vuông là xấp xỉ $$. Do đó, cần ít nhất 3 tam giác đều để phủ toàn bộ hình vuông. 3. Số điểm trung bình mỗi tam giác phủ: Nếu 3 tam giác đều phủ toàn bộ 2023 điểm, thì trung bình mỗi tam giác phủ: $$ Do đó, ít nhất một tam giác sẽ phủ ít nhất 675 điểm. 4. Kết luận: Tồn tại một tam giác đều cạnh $$ phủ ít nhất 675 điểm trong 2023 điểm đã cho. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được sự tồn tại của các tam giác đều có kích thước nhất định có thể phủ một số lượng điểm nhất định trong 2023 điểm đã cho.