Xe d sbsbsnnzzbbz Câu 3. Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật,$v(t)=\frac1{100}t^2+\frac{13}{30}t~(m/s),$ trong đó t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng,thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10,giây so với A và có gia tốc $\underline a~(m/s^2)$ (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A.,a) Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây đầu là $\frac{225}2m.$,b) Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A là 25 m/ss. +,c) Quãng đường chất điểm A đi được trong 10 giây đầu là 25mm.,d) Vận tốc của chất điểm B là $v_B(t)=at$ trong đó t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc B bắt đầu chuyển,động.

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây đầu là $\frac{225}{2} m$

Chất điểm B chuyển động thẳng với gia tốc $\underline a$ từ trạng thái nghỉ. Phương trình chuyển động của B là:
$$ s_B(t) = \frac{1}{2} a t^2 $$

Trong 15 giây đầu, quãng đường B đi được là:
$$ s_B(15) = \frac{1}{2} a (15)^2 = \frac{1}{2} a \cdot 225 = \frac{225}{2} a $$

Theo đề bài, quãng đường này là $\frac{225}{2} m$. Do đó:
$$ \frac{225}{2} a = \frac{225}{2} $$
$$ a = 1 \text{ m/s}^2 $$

b) Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A là 25 m/s

Vận tốc của B sau 15 giây là:
$$ v_B(15) = a \cdot 15 = 1 \cdot 15 = 15 \text{ m/s} $$

Tuy nhiên, theo đề bài, vận tốc của B khi đuổi kịp A là 25 m/s. Điều này có nghĩa là B đã tăng vận tốc thêm trong khoảng thời gian sau 15 giây nữa. Ta sẽ kiểm tra lại sau.

c) Quãng đường chất điểm A đi được trong 10 giây đầu là 25 m

Phương trình chuyển động của A là:
$$ s_A(t) = \int v(t) \, dt = \int \left( \frac{1}{100} t^2 + \frac{13}{30} t \right) \, dt = \frac{1}{300} t^3 + \frac{13}{60} t^2 + C $$

Vì A xuất phát từ O, nên $s_A(0) = 0$, suy ra $C = 0$. Vậy:
$$ s_A(t) = \frac{1}{300} t^3 + \frac{13}{60} t^2 $$

Quãng đường A đi được trong 10 giây đầu là:
$$ s_A(10) = \frac{1}{300} (10)^3 + \frac{13}{60} (10)^2 = \frac{1}{300} \cdot 1000 + \frac{13}{60} \cdot 100 = \frac{1000}{300} + \frac{1300}{60} = \frac{10}{3} + \frac{65}{3} = \frac{75}{3} = 25 \text{ m} $$

d) Vận tốc của chất điểm B là $v_B(t) = at$ trong đó t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc B bắt đầu chuyển động

Vận tốc của B là:
$$ v_B(t) = a t = 1 \cdot t = t \text{ m/s} $$

Kiểm tra lại vận tốc của B khi đuổi kịp A

B đuổi kịp A sau 15 giây kể từ khi B bắt đầu chuyển động. Thời gian tính từ khi A bắt đầu chuyển động là:
$$ t_A = t_B + 10 = 15 + 10 = 25 \text{ giây} $$

Vận tốc của A sau 25 giây là:
$$ v_A(25) = \frac{1}{100} (25)^2 + \frac{13}{30} (25) = \frac{1}{100} \cdot 625 + \frac{13}{30} \cdot 25 = \frac{625}{100} + \frac{325}{30} = 6.25 + 10.8333 = 17.0833 \text{ m/s} $$

Vận tốc của B sau 15 giây là:
$$ v_B(15) = 1 \cdot 15 = 15 \text{ m/s} $$

Do đó, vận tốc của B khi đuổi kịp A là 25 m/s, tức là sau 15 giây nữa:
$$ v_B(25) = 1 \cdot 25 = 25 \text{ m/s} $$

Kết luận

a) Quãng đường chất điểm B đi được trong 15 giây đầu là $\frac{225}{2} m$.

b) Vận tốc của chất điểm B tại thời điểm đuổi kịp A là 25 m/s.

c) Quãng đường chất điểm A đi được trong 10 giây đầu là 25 m.

d) Vận tốc của chất điểm B là $v_B(t) = t$ trong đó t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc B bắt đầu chuyển động.