giúp em với ạ Phần II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc,sai.,Câu 1. Cho hàm số $f(x)=\cos(2x)-x.$,$a)~f(0)=1;f(-\pi)=\pi-1;.$,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=-2\sin(2x)-1.$,c) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[-\frac\pi4;0]$ là $x=-\frac\pi{12}.$,d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac\pi4;0]$ là $\frac\pi4.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Tính giá trị của hàm số tại các điểm cho trước

1. Tính $ f(0) $:
   $$
   f(0) = \cos(2 \cdot 0) - 0 = \cos(0) - 0 = 1
   $$

2. Tính $ f(-\pi) $:
   $$
   f(-\pi) = \cos(2 \cdot (-\pi)) - (-\pi) = \cos(-2\pi) + \pi = \cos(2\pi) + \pi = 1 + \pi
   $$

b) Tìm đạo hàm của hàm số

Hàm số đã cho là $ f(x) = \cos(2x) - x $.

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số cơ bản:
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}[\cos(2x)] - \frac{d}{dx}[x] = -2\sin(2x) - 1
$$

c) Giải phương trình đạo hàm bằng 0 trên đoạn $[- \frac{\pi}{4}, 0]$

Phương trình đạo hàm bằng 0:
$$
f'(x) = -2\sin(2x) - 1 = 0
$$
$$
-2\sin(2x) = 1
$$
$$
\sin(2x) = -\frac{1}{2}
$$

Trên đoạn $[- \frac{\pi}{4}, 0]$, ta có:
$$
2x = -\frac{\pi}{6} \quad \text{(vì } \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2})
$$
$$
x = -\frac{\pi}{12}
$$

d) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- \frac{\pi}{4}, 0]$

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- \frac{\pi}{4}, 0]$, ta cần tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và tại điểm cực trị (nếu có).

1. Tính $ f(-\frac{\pi}{4}) $:
   $$
   f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{4} = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}
   $$

2. Tính $ f(0) $:
   $$
   f(0) = 1
   $$

3. Tính $ f(-\frac{\pi}{12}) $:
   $$
   f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{12}\right) - \left(-\frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}
   $$

So sánh các giá trị:
$$
f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} \approx 0.785
$$
$$
f(0) = 1
$$
$$
f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} \approx 0.866 + 0.262 = 1.128
$$

Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- \frac{\pi}{4}, 0]$ là $ f\left(-\frac{\pi}{12}\right) \approx 1.128 $.

Kết luận:
- $ f(0) = 1 $
- $ f(-\pi) = 1 + \pi $
- Đạo hàm của hàm số là $ f'(x) = -2\sin(2x) - 1 $
- Nghiệm của phương trình $ f'(x) = 0 $ trên đoạn $[- \frac{\pi}{4}, 0]$ là $ x = -\frac{\pi}{12} $
- Giá trị lớn nhất của $ f(x) $ trên đoạn $[- \frac{\pi}{4}, 0]$ là $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} $.