giúp mình với Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~2x+2y+z-1=0$ và đường thẳng,$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\y=-2t\z=-2-t\end{array} ight..$ Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d . Biết,$\Delta$ cắt mặt cầu $(S):~(x-3)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=20$ theo dây cung có bán kính lớn nhất.,Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(a;b;5).$ Tính giá trị $a+b.$,Câu 4: Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt,tứ giác đều. Gọi x là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị: dm).. Tính toán cho thấy tổng chi phí,vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là: $C(x)=x^2+27$ (nghìn đồng). Thời,gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là: $T(x)=x+3$ (giờ). Xưởng muốn xác,định kích thước x để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm,tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của x.,

Question

giúp mình với Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~2x+2y+z-1=0$ và đường thẳng,$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\y=-2t\z=-2-t\end{array}ight..$ Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d . Biết,$\Delta$ cắt mặt cầu $(S):~(x-3)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=20$ theo dây cung có bán kính lớn nhất.,Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(a;b;5).$ Tính giá trị $a+b.$,Câu 4: Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt,tứ giác đều. Gọi x là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị: dm).. Tính toán cho thấy tổng chi phí,vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là: $C(x)=x^2+27$ (nghìn đồng). Thời,gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là: $T(x)=x+3$ (giờ). Xưởng muốn xác,định kích thước x để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm,tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của x.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/66906eb544744abb8ae0eecd3a7f414e.jpg />

Accepted Answer

Câu 3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.
2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ dựa trên điều kiện vuông góc với $d$ và nằm trong mặt phẳng $(P)$.
3. Xác định phương trình của đường thẳng $\Delta$.
4. Tìm điểm giao của đường thẳng $\Delta$ với mặt cầu $(S)$ sao cho đoạn thẳng nối hai điểm giao này có độ dài lớn nhất.
5. Tìm tọa độ của điểm $A(a; b; 5)$ và tính giá trị $a + b$.

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ và vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.
- Mặt phẳng $(P): 2x + 2y + z - 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_P = (2, 2, 1)$.
- Đường thẳng $d: \left\{\begin{array}{l}x = 1 + 3t \ y = -2t \ z = -2 - t\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_d = (3, -2, -1)$.

Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u}_\Delta$, nó phải vuông góc với $\vec{u}_d$ và nằm trong mặt phẳng $(P)$.
- Ta có $\vec{u}_\Delta \cdot \vec{u}_d = 0$ và $\vec{u}_\Delta \cdot \vec{n}_P = 0$.

Giả sử $\vec{u}_\Delta = (a, b, c)$, ta có:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
3a - 2b - c = 0 \
2a + 2b + c = 0
\end{array}
\right.
$$

Giải hệ phương trình này, ta được:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
3a - 2b - c = 0 \
2a + 2b + c = 0
\end{array}
\right.
\Rightarrow 
\left\{
\begin{array}{l}
3a - 2b - c = 0 \
2a + 2b + c = 0
\end{array}
\right.
\Rightarrow 
\left\{
\begin{array}{l}
5a = 0 \
c = -2a
\end{array}
\right.
$$

Do đó, ta chọn $a = 1$, $b = 0$, $c = -2$. Vậy $\vec{u}_\Delta = (1, 0, -2)$.

Bước 3: Xác định phương trình của đường thẳng $\Delta$.
- Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(a, b, 5)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}_\Delta = (1, 0, -2)$.
- Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
x = a + t \
y = b \
z = 5 - 2t
\end{array}
\right.
$$

Bước 4: Tìm điểm giao của đường thẳng $\Delta$ với mặt cầu $(S)$ sao cho đoạn thẳng nối hai điểm giao này có độ dài lớn nhất.
- Mặt cầu $(S): (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 20$.
- Thay phương trình của đường thẳng $\Delta$ vào phương trình của mặt cầu:
$$ 
(a + t - 3)^2 + (b + 1)^2 + (5 - 2t - 2)^2 = 20
$$
$$ 
(a + t - 3)^2 + (b + 1)^2 + (3 - 2t)^2 = 20
$$

Để đoạn thẳng nối hai điểm giao này có độ dài lớn nhất, tâm của mặt cầu phải nằm trên đường thẳng $\Delta$. Do đó, ta thay tọa độ tâm mặt cầu $(3, -1, 2)$ vào phương trình của đường thẳng $\Delta$:
$$ 
3 = a + t \
-1 = b \
2 = 5 - 2t
$$

Giải hệ phương trình này, ta được:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
3 = a + t \
-1 = b \
2 = 5 - 2t
\end{array}
\right.
\Rightarrow 
\left\{
\begin{array}{l}
t = \frac{3}{2} \
b = -1 \
a = \frac{3}{2}
\end{array}
\right.
$$

Bước 5: Tính giá trị $a + b$.
$$ 
a + b = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}
$$

Vậy giá trị của $a + b$ là $\frac{1}{2}$.

Câu 4:
Chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là:
$$ A(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 27}{x + 3} $$

Để tìm giá trị của $ x $ sao cho $ A(x) $ đạt giá trị nhỏ nhất, ta sẽ tính đạo hàm của $ A(x) $ và tìm điểm cực tiểu.

Tính đạo hàm của $ A(x) $:
$$ A'(x) = \left( \frac{x^2 + 27}{x + 3} \right)' $$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ A'(x) = \frac{(x^2 + 27)'(x + 3) - (x^2 + 27)(x + 3)'}{(x + 3)^2} $$
$$ A'(x) = \frac{(2x)(x + 3) - (x^2 + 27)(1)}{(x + 3)^2} $$
$$ A'(x) = \frac{2x^2 + 6x - x^2 - 27}{(x + 3)^2} $$
$$ A'(x) = \frac{x^2 + 6x - 27}{(x + 3)^2} $$

Để tìm giá trị của $ x $ làm cho $ A'(x) = 0 $:
$$ \frac{x^2 + 6x - 27}{(x + 3)^2} = 0 $$
$$ x^2 + 6x - 27 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x^2 + 6x - 27 = 0 $$
$$ (x + 9)(x - 3) = 0 $$

Vậy:
$$ x = -9 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 $$

Do $ x $ là độ dài cạnh đáy lớn, nên $ x > 0 $. Do đó, ta chỉ xét $ x = 3 $.

Kiểm tra đạo hàm thứ hai để xác định tính chất của điểm cực tiểu:
$$ A''(x) = \left( \frac{x^2 + 6x - 27}{(x + 3)^2} \right)' $$

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số:
$$ A''(x) = \frac{(2x + 6)(x + 3)^2 - (x^2 + 6x - 27) \cdot 2(x + 3)}{(x + 3)^4} $$
$$ A''(x) = \frac{(2x + 6)(x + 3) - 2(x^2 + 6x - 27)}{(x + 3)^3} $$
$$ A''(x) = \frac{2x^2 + 6x + 6x + 18 - 2x^2 - 12x + 54}{(x + 3)^3} $$
$$ A''(x) = \frac{72}{(x + 3)^3} $$

Khi $ x = 3 $:
$$ A''(3) = \frac{72}{(3 + 3)^3} = \frac{72}{216} = \frac{1}{3} > 0 $$

Vậy $ x = 3 $ là điểm cực tiểu của $ A(x) $.

Do đó, giá trị của $ x $ để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất là:
$$ x = 3 $$

Đáp số: $ x = 3 $