Giúp mình với Câu 1: Trong không gian Oxyz , mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng,$(P):~2x-y+2z-1=0$ có bán kính bằng,A. 3. B. 9. C. 6. $D.~\sqrt6.$,Câu 2: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=5^x,~y=0,~x=0$ và $x=1.$,Mệnh đề nào dưới đây đúng?,$A.~S=\pi\int^1_05^xdx.$ $B.~S=\int^1_05^xdx.$ $C.~S=\pi\int^1_05^{2x}dx.$ $D.~S=\int^1_05^{2x}dx.$

Question

Accepted Answer

Câu 1:
Để tìm bán kính của mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):~2x-y+2z-1=0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng:
   - Công thức khoảng cách từ điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là:
     $$
     d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
     $$
   - Thay tọa độ tâm $I(1, -2, 3)$ vào phương trình mặt phẳng $(P):~2x - y + 2z - 1 = 0$:
     $$
     d = \frac{|2 \cdot 1 - (-2) + 2 \cdot 3 - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 + 6 - 1|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|9|}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3
     $$

2. Kết luận bán kính của mặt cầu:
   - Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$, khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng chính là bán kính của mặt cầu.
   - Vậy bán kính của mặt cầu là 3.

Do đó, đáp án đúng là:
A. 3.

Câu 2:
Để tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = 5^x $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ và $ x = 1 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định miền tích phân: 
   - Giới hạn trên là $ x = 1 $.
   - Giới hạn dưới là $ x = 0 $.

2. Tính diện tích bằng tích phân:
   - Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y = f(x) $, trục hoành và hai đường thẳng $ x = a $ và $ x = b $ được tính bằng công thức:
     $$
     S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx
     $$
   - Trong trường hợp này, $ f(x) = 5^x $, $ a = 0 $ và $ b = 1 $. Do đó:
     $$
     S = \int_{0}^{1} 5^x \, dx
     $$

3. Kiểm tra các phương án:
   - Phương án A: $ S = \pi \int_{0}^{1} 5^x \, dx $ (sai vì không có nhân với $\pi$).
   - Phương án B: $ S = \int_{0}^{1} 5^x \, dx $ (đúng).
   - Phương án C: $ S = \pi \int_{0}^{1} 5^{2x} \, dx $ (sai vì không có nhân với $\pi$ và hàm số không phải là $5^{2x}$).
   - Phương án D: $ S = \int_{0}^{1} 5^{2x} \, dx $ (sai vì hàm số không phải là $5^{2x}$).

Vậy mệnh đề đúng là:
$$ \boxed{B.~S = \int_{0}^{1} 5^x \, dx} $$