Trả lời câu hỏi sau $A.~(0;1).$ $ extcircled{B.}~(1;2).$ $C.~(-1;0).$ $D.~(-1;1).$,PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng,hoặc sai.,Câu 1. Cho hàm số $f(x)=2\cos x-x+\pi.$,$a)~f(\pi)=-2.$,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=2\sin x-1.$,c) Số nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[\frac{-\pi}2;\frac\pi2]$ là 2.,d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac{-\pi}2;\frac\pi2]$ là $\frac\pi2.$,Câu 2. Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách,điểm nhập làn 240 m , tốc độ của ô tô là 28,8 km/h . Bốn giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ,$v(t)=at+b~(m/s)$ với $(a,b\in O,a0),$ trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.,Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 16 giây và duy trì sự tăng tốc trong 30 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.,a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m.,b) Giá trị của b là 8.,c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây $(0\leq t\leq30)$ kể từ khi tăng tốc,được tính theo công thức $S(t)=\int^{30}_0v(t)dt.$,d) Sau 30 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h.,Câu 3. Một kho hàng có 85% sản phẩm loại I và 15% sản phẩm loại II, trong đó có 1% sản phẩm loại I,2

Question

Trả lời câu hỏi sau $A.~(0;1).$ $	extcircled{B.}~(1;2).$ $C.~(-1;0).$ $D.~(-1;1).$,PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng,hoặc sai.,Câu 1. Cho hàm số $f(x)=2\cos x-x+\pi.$,$a)~f(\pi)=-2.$,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=2\sin x-1.$,c) Số nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[\frac{-\pi}2;\frac\pi2]$ là 2.,d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac{-\pi}2;\frac\pi2]$ là $\frac\pi2.$,Câu 2. Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách,điểm nhập làn 240 m , tốc độ của ô tô là 28,8 km/h . Bốn giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ,$v(t)=at+b~(m/s)$ với $(a,b\in O,a>0),$ trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.,Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 16 giây và duy trì sự tăng tốc trong 30 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.,a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m.,b) Giá trị của b là 8.,c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây $(0\leq t\leq30)$ kể từ khi tăng tốc,được tính theo công thức $S(t)=\int^{30}_0v(t)dt.$,d) Sau 30 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h.,Câu 3. Một kho hàng có 85% sản phẩm loại I và 15% sản phẩm loại II, trong đó có 1% sản phẩm loại I,2

Accepted Answer

Câu 1.
a) Ta có:
$f(\pi) = 2\cos \pi - \pi + \pi$
$= 2 \times (-1) - \pi + \pi$
$= -2$

b) Đạo hàm của hàm số $f(x) = 2\cos x - x + \pi$ là:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(2\cos x) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\pi)$
$= 2(-\sin x) - 1 + 0$
$= -2\sin x - 1$

c) Ta cần giải phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$:
$-2\sin x - 1 = 0$
$\sin x = -\frac{1}{2}$

Trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, phương trình $\sin x = -\frac{1}{2}$ có hai nghiệm:
$x = -\frac{\pi}{6}$ và $x = \frac{7\pi}{6}$ (nhưng $\frac{7\pi}{6}$ không thuộc đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$).

Do đó, phương trình $f'(x) = 0$ có 1 nghiệm duy nhất trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ta xét các điểm cực trị và các biên của đoạn:
- Tại $x = -\frac{\pi}{2}$:
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - (-\frac{\pi}{2}) + \pi$
$= 2 \times 0 + \frac{\pi}{2} + \pi$
$= \frac{3\pi}{2}$

- Tại $x = \frac{\pi}{2}$:
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} + \pi$
$= 2 \times 0 - \frac{\pi}{2} + \pi$
$= \frac{\pi}{2}$

- Tại điểm cực trị $x = -\frac{\pi}{6}$:
$f(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6}) - (-\frac{\pi}{6}) + \pi$
$= 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi$
$= \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + \pi$
$= \sqrt{3} + \frac{7\pi}{6}$

So sánh các giá trị:
$\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$
$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$
$\sqrt{3} + \frac{7\pi}{6} \approx 1.73 + 3.67 \approx 5.4$

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ là $\frac{\pi}{2}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{2}$.

Đáp án: d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ là $\frac{\pi}{2}$.

Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa trên thông tin đã cho và yêu cầu của câu hỏi.

Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu và chuyển đổi đơn vị
- Vận tốc ban đầu của ô tô là 28,8 km/h.
- Chuyển đổi vận tốc này sang đơn vị m/s:
$$ v_0 = 28,8 \times \frac{1000}{3600} = 8 \text{ m/s} $$

Bước 2: Xác định thời gian và khoảng cách
- Thời gian từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 16 giây.
- Quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m.

Bước 3: Xác định phương trình vận tốc
- Vận tốc của ô tô khi tăng tốc được cho bởi $ v(t) = at + b $.

Bước 4: Xác định giá trị của $ b $
- Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc ($ t = 0 $), vận tốc của ô tô là 8 m/s:
$$ v(0) = b = 8 $$
Do đó, $ b = 8 $.

Bước 5: Xác định giá trị của $ a $
- Sau 16 giây, ô tô đã đi được 208 m từ điểm bắt đầu tăng tốc.
- Ta có phương trình quãng đường $ S(t) $:
$$ S(t) = \int_{0}^{t} v(t) \, dt = \int_{0}^{t} (at + 8) \, dt = \left[ \frac{1}{2}at^2 + 8t \right]_{0}^{t} = \frac{1}{2}at^2 + 8t $$
- Thay $ t = 16 $ và $ S(16) = 208 $:
$$ 208 = \frac{1}{2}a(16)^2 + 8(16) $$
$$ 208 = 128a + 128 $$
$$ 80 = 128a $$
$$ a = \frac{80}{128} = \frac{5}{8} $$

Bước 6: Xác định quãng đường $ S(t) $
- Phương trình quãng đường $ S(t) $ trong thời gian $ t $ giây:
$$ S(t) = \frac{1}{2} \left(\frac{5}{8}\right)t^2 + 8t = \frac{5}{16}t^2 + 8t $$

Bước 7: Kiểm tra tốc độ sau 30 giây
- Tốc độ của ô tô sau 30 giây:
$$ v(30) = \left(\frac{5}{8}\right)(30) + 8 = \frac{150}{8} + 8 = 18.75 + 8 = 26.75 \text{ m/s} $$
- Chuyển đổi vận tốc này sang km/h:
$$ v(30) = 26.75 \times \frac{3600}{1000} = 96.3 \text{ km/h} $$
- Tốc độ này không vượt quá 100 km/h.

Kết luận
- a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m.
- b) Giá trị của $ b $ là 8.
- c) Quãng đường $ S(t) $ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $ t $ giây (0 ≤ t ≤ 30) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $ S(t) = \frac{5}{16}t^2 + 8t $.
- d) Sau 30 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h.

Câu 3.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính số lượng sản phẩm loại I và loại II trong kho hàng:
   - Số lượng sản phẩm loại I: $ 85\% $ của tổng số sản phẩm.
   - Số lượng sản phẩm loại II: $ 15\% $ của tổng số sản phẩm.

2. Tính số lượng sản phẩm loại I bị lỗi:
   - Số lượng sản phẩm loại I bị lỗi: $ 1\% $ của số lượng sản phẩm loại I.

3. Tính tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm:
   - Tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một:

Bước 1: Tính số lượng sản phẩm loại I và loại II trong kho hàng

Giả sử tổng số sản phẩm trong kho hàng là $ N $.

- Số lượng sản phẩm loại I: 
$$ N_{I} = 0.85 \times N $$

- Số lượng sản phẩm loại II:
$$ N_{II} = 0.15 \times N $$

Bước 2: Tính số lượng sản phẩm loại I bị lỗi

Số lượng sản phẩm loại I bị lỗi:
$$ N_{I, lỗi} = 0.01 \times N_{I} = 0.01 \times (0.85 \times N) = 0.0085 \times N $$

Bước 3: Tính tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm

Tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm:
$$ \text{Tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi} = \left( \frac{N_{I, lỗi}}{N} \right) \times 100 = \left( \frac{0.0085 \times N}{N} \right) \times 100 = 0.85\% $$

Kết luận

Tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm là $ 0.85\% $.