Trả lời câu hỏi sau

Câu 1. a) Ta có: $f(\pi) = 2\cos \pi - \pi + \pi$ $= 2 \times (-1) - \pi + \pi$ $= -2$ b) Đạo hàm của hàm số $f(x) = 2\cos x - x + \pi$ là: $f'(x) = \frac{d}{dx}(2\cos x) - \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\pi)$ $= 2(-\sin x) - 1 + 0$ $= -2\sin x - 1$ c) Ta cần giải phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$: $-2\sin x - 1 = 0$ $\sin x = -\frac{1}{2}$ Trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, phương trình $\sin x = -\frac{1}{2}$ có hai nghiệm: $x = -\frac{\pi}{6}$ và $x = \frac{7\pi}{6}$ (nhưng $\frac{7\pi}{6}$ không thuộc đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$). Do đó, phương trình $f'(x) = 0$ có 1 nghiệm duy nhất trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ta xét các điểm cực trị và các biên của đoạn: - Tại $x = -\frac{\pi}{2}$: $f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - (-\frac{\pi}{2}) + \pi$ $= 2 \times 0 + \frac{\pi}{2} + \pi$ $= \frac{3\pi}{2}$ - Tại $x = \frac{\pi}{2}$: $f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} + \pi$ $= 2 \times 0 - \frac{\pi}{2} + \pi$ $= \frac{\pi}{2}$ - Tại điểm cực trị $x = -\frac{\pi}{6}$: $f(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6}) - (-\frac{\pi}{6}) + \pi$ $= 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi$ $= \sqrt{3} + \frac{\pi}{6} + \pi$ $= \sqrt{3} + \frac{7\pi}{6}$ So sánh các giá trị: $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ $\sqrt{3} + \frac{7\pi}{6} \approx 1.73 + 3.67 \approx 5.4$ Như vậy, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ là $\frac{\pi}{2}$, đạt được khi $x = \frac{\pi}{2}$. Đáp án: d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ là $\frac{\pi}{2}$. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một, dựa trên thông tin đã cho và yêu cầu của câu hỏi. Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu và chuyển đổi đơn vị - Vận tốc ban đầu của ô tô là 28,8 km/h. - Chuyển đổi vận tốc này sang đơn vị m/s: \[ v_0 = 28,8 \times \frac{1000}{3600} = 8 \text{ m/s} \] Bước 2: Xác định thời gian và khoảng cách - Thời gian từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 16 giây. - Quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m. Bước 3: Xác định phương trình vận tốc - Vận tốc của ô tô khi tăng tốc được cho bởi \( v(t) = at + b \). Bước 4: Xác định giá trị của \( b \) - Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc (\( t = 0 \)), vận tốc của ô tô là 8 m/s: \[ v(0) = b = 8 \] Do đó, \( b = 8 \). Bước 5: Xác định giá trị của \( a \) - Sau 16 giây, ô tô đã đi được 208 m từ điểm bắt đầu tăng tốc. - Ta có phương trình quãng đường \( S(t) \): \[ S(t) = \int_{0}^{t} v(t) \, dt = \int_{0}^{t} (at + 8) \, dt = \left[ \frac{1}{2}at^2 + 8t \right]_{0}^{t} = \frac{1}{2}at^2 + 8t \] - Thay \( t = 16 \) và \( S(16) = 208 \): \[ 208 = \frac{1}{2}a(16)^2 + 8(16) \] \[ 208 = 128a + 128 \] \[ 80 = 128a \] \[ a = \frac{80}{128} = \frac{5}{8} \] Bước 6: Xác định quãng đường \( S(t) \) - Phương trình quãng đường \( S(t) \) trong thời gian \( t \) giây: \[ S(t) = \frac{1}{2} \left(\frac{5}{8}\right)t^2 + 8t = \frac{5}{16}t^2 + 8t \] Bước 7: Kiểm tra tốc độ sau 30 giây - Tốc độ của ô tô sau 30 giây: \[ v(30) = \left(\frac{5}{8}\right)(30) + 8 = \frac{150}{8} + 8 = 18.75 + 8 = 26.75 \text{ m/s} \] - Chuyển đổi vận tốc này sang km/h: \[ v(30) = 26.75 \times \frac{3600}{1000} = 96.3 \text{ km/h} \] - Tốc độ này không vượt quá 100 km/h. Kết luận - a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 208 m. - b) Giá trị của \( b \) là 8. - c) Quãng đường \( S(t) \) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian \( t \) giây (0 ≤ t ≤ 30) kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức \( S(t) = \frac{5}{16}t^2 + 8t \). - d) Sau 30 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số lượng sản phẩm loại I và loại II trong kho hàng: - Số lượng sản phẩm loại I: \( 85\% \) của tổng số sản phẩm. - Số lượng sản phẩm loại II: \( 15\% \) của tổng số sản phẩm. 2. Tính số lượng sản phẩm loại I bị lỗi: - Số lượng sản phẩm loại I bị lỗi: \( 1\% \) của số lượng sản phẩm loại I. 3. Tính tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm: - Tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một: Bước 1: Tính số lượng sản phẩm loại I và loại II trong kho hàng Giả sử tổng số sản phẩm trong kho hàng là \( N \). - Số lượng sản phẩm loại I: \[ N_{I} = 0.85 \times N \] - Số lượng sản phẩm loại II: \[ N_{II} = 0.15 \times N \] Bước 2: Tính số lượng sản phẩm loại I bị lỗi Số lượng sản phẩm loại I bị lỗi: \[ N_{I, lỗi} = 0.01 \times N_{I} = 0.01 \times (0.85 \times N) = 0.0085 \times N \] Bước 3: Tính tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm Tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm: \[ \text{Tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi} = \left( \frac{N_{I, lỗi}}{N} \right) \times 100 = \left( \frac{0.0085 \times N}{N} \right) \times 100 = 0.85\% \] Kết luận Tỷ lệ phần trăm sản phẩm bị lỗi trong tổng số sản phẩm là \( 0.85\% \).