Giúp mình câu 16,17 với a Câu 16. Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm là $f^\prime(x)=x^2(x+1)^2(2x-1).$ Số điểm cực trị của hàm số là,A. 0.. B. 1.. C. 2.. D. 3.,Câu 17. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=(x-1)^3(x-2)$ với mọi $x\in\mathbb{R}.$ Hàm số đã cho đạt cực,đại tại,$A.~x=-1.$ $B.~x=1.$ $C.~x=2.$ $D.~x=-2.$

Question

Accepted Answer

Câu 16. Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = f(x) $ với đạo hàm $ f'(x) = x^2 (x + 1)^2 (2x - 1) $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: $$ f'(x) = x^2 (x + 1)^2 (2x - 1) = 0 $$ Ta có: $$ x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 $$ $$ (x + 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1 $$ $$ 2x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} $$ Vậy các điểm mà đạo hàm bằng 0 là $ x = 0 $, $ x = -1 $, và $ x = \frac{1}{2} $. 2. Xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ trong các khoảng giữa các điểm trên: - Khi $ x < -1 $: $$ x^2 > 0, \quad (x + 1)^2 > 0, \quad 2x - 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) < 0 $$ - Khi $ -1 < x < 0 $: $$ x^2 > 0, \quad (x + 1)^2 > 0, \quad 2x - 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) < 0 $$ - Khi $ 0 < x < \frac{1}{2} $: $$ x^2 > 0, \quad (x + 1)^2 > 0, \quad 2x - 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) < 0 $$ - Khi $ x > \frac{1}{2} $: $$ x^2 > 0, \quad (x + 1)^2 > 0, \quad 2x - 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad f'(x) > 0 $$ 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại $ x = -1 $: Đạo hàm $ f'(x) $ không đổi dấu từ âm sang âm, do đó $ x = -1 $ không là điểm cực trị. - Tại $ x = 0 $: Đạo hàm $ f'(x) $ không đổi dấu từ âm sang âm, do đó $ x = 0 $ không là điểm cực trị. - Tại $ x = \frac{1}{2} $: Đạo hàm $ f'(x) $ đổi dấu từ âm sang dương, do đó $ x = \frac{1}{2} $ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số $ y = f(x) $ có 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu tại $ x = \frac{1}{2} $. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 17. Để tìm điểm cực đại của hàm số $ y = f(x) $ từ đạo hàm $ f'(x) = (x-1)^3(x-2) $, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm cực trị: Các điểm cực trị của hàm số là các điểm mà đạo hàm $ f'(x) $ bằng 0 hoặc không xác định. Trong trường hợp này, đạo hàm $ f'(x) = (x-1)^3(x-2) $ là một đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực $ \mathbb{R} $. Ta giải phương trình: $$ f'(x) = (x-1)^3(x-2) = 0 $$ Điều này xảy ra khi: $$ (x-1)^3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-2) = 0 $$ Từ đó, ta có: $$ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ 2. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Để xác định tính chất của các điểm cực trị, ta xét dấu của đạo hàm $ f'(x) $ ở các khoảng giữa các điểm cực trị. - Khi $ x < 1 $: $$ (x-1)^3 < 0 \quad \text{và} \quad (x-2) < 0 \implies f'(x) > 0 $$ - Khi $ 1 < x < 2 $: $$ (x-1)^3 > 0 \quad \text{và} \quad (x-2) < 0 \implies f'(x) < 0 $$ - Khi $ x > 2 $: $$ (x-1)^3 > 0 \quad \text{và} \quad (x-2) > 0 \implies f'(x) > 0 $$ 3. Xác định điểm cực đại: - Tại $ x = 1 $: Đạo hàm $ f'(x) $ chuyển từ dương sang âm, do đó $ x = 1 $ là điểm cực đại. - Tại $ x = 2 $: Đạo hàm $ f'(x) $ chuyển từ âm sang dương, do đó $ x = 2 $ là điểm cực tiểu. Vậy, hàm số đạt cực đại tại $ x = 1 $. Đáp án: B. $ x = 1 $