Giải đạo hàm

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = x \sqrt{9 - x^2} \). 2. Xác định điều kiện xác định của hàm số. 3. Giải bất phương trình đạo hàm lớn hơn 0 để tìm khoảng đồng biến của hàm số. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = x \sqrt{9 - x^2} \). Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ f'(x) = (x)' \sqrt{9 - x^2} + x (\sqrt{9 - x^2})' \] Tính đạo hàm từng phần: \[ (x)' = 1 \] \[ (\sqrt{9 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{9 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} \] Do đó: \[ f'(x) = 1 \cdot \sqrt{9 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{9 - x^2}} \] \[ f'(x) = \sqrt{9 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \] \[ f'(x) = \frac{(9 - x^2) - x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \] \[ f'(x) = \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}} \] Bước 2: Xác định điều kiện xác định của hàm số. Hàm số \( f(x) = x \sqrt{9 - x^2} \) xác định khi: \[ 9 - x^2 > 0 \] \[ x^2 < 9 \] \[ -3 < x < 3 \] Bước 3: Giải bất phương trình đạo hàm lớn hơn 0 để tìm khoảng đồng biến của hàm số. Ta cần giải bất phương trình: \[ f'(x) > 0 \] \[ \frac{9 - 2x^2}{\sqrt{9 - x^2}} > 0 \] Vì mẫu số \( \sqrt{9 - x^2} \) luôn dương trong khoảng \( -3 < x < 3 \), nên ta chỉ cần giải bất phương trình: \[ 9 - 2x^2 > 0 \] \[ 2x^2 < 9 \] \[ x^2 < \frac{9}{2} \] \[ -\frac{3}{\sqrt{2}} < x < \frac{3}{\sqrt{2}} \] Kết hợp với điều kiện xác định \( -3 < x < 3 \), ta có: \[ -\frac{3}{\sqrt{2}} < x < \frac{3}{\sqrt{2}} \] Vậy hàm số \( f(x) = x \sqrt{9 - x^2} \) đồng biến trên khoảng: \[ \left( -\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{3}{\sqrt{2}} \right) \] Đáp số: \( \left( -\frac{3}{\sqrt{2}}, \frac{3}{\sqrt{2}} \right) \)