giúp mik vs

Câu 12: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin^2 x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng công thức hạ bậc: Ta biết rằng: \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] 2. Tìm nguyên hàm của biểu thức đã biến đổi: \[ \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx \] Ta chia biểu thức thành hai phần: \[ \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx \] 3. Tính nguyên hàm từng phần: \[ \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \cos 2x \, dx \right) \] Nguyên hàm của 1 là \( x \): \[ \int 1 \, dx = x \] Nguyên hàm của \( \cos 2x \) là \( \frac{\sin 2x}{2} \): \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{\sin 2x}{2} \] 4. Ghép lại kết quả: \[ \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin^2 x \) là: \[ \boxed{\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A. \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C \] Câu 1: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các quy tắc và kiến thức đã học. Mệnh đề a) Hàm số $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 4)$ có tập xác định $D = (-\infty; 1] \cup [4; +\infty)$. Điều kiện xác định của hàm số $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 4)$ là: \[ x^2 - 5x + 4 > 0 \] Giải bất phương trình: \[ x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) > 0 \] Phương trình $(x - 1)(x - 4) = 0$ có hai nghiệm $x = 1$ và $x = 4$. Ta vẽ bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & (1, 4) & (4, +\infty) \\ \hline x - 1 & - & + & + \\ x - 4 & - & - & + \\ (x - 1)(x - 4) & + & - & + \\ \end{array} \] Từ bảng xét dấu, ta thấy $(x - 1)(x - 4) > 0$ khi $x \in (-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$. Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, 1) \cup (4, +\infty) \] Mệnh đề a) sai vì tập xác định không bao gồm các điểm $x = 1$ và $x = 4$. Mệnh đề b) Hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \frac{5 - 2x}{(x^2 - 5x + 4)\ln 2}$. Ta tính đạo hàm của $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 4)$: \[ f(x) = \frac{\ln(x^2 - 5x + 4)}{\ln \left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\ln(x^2 - 5x + 4)}{-\ln 2} = -\frac{\ln(x^2 - 5x + 4)}{\ln 2} \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm logarit: \[ f'(x) = -\frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{d}{dx}[\ln(x^2 - 5x + 4)] = -\frac{1}{\ln 2} \cdot \frac{2x - 5}{x^2 - 5x + 4} = \frac{5 - 2x}{(x^2 - 5x + 4)\ln 2} \] Mệnh đề b) đúng. Mệnh đề c) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty, \frac{5}{2})$. Ta đã tính được đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{5 - 2x}{(x^2 - 5x + 4)\ln 2} \] Đạo hàm $f'(x)$ dương khi: \[ 5 - 2x > 0 \Rightarrow x < \frac{5}{2} \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra thêm điều kiện xác định của hàm số. Tập xác định của hàm số là $(-\infty, 1) \cup (4, +\infty)$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 1)$. Mệnh đề c) sai vì hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 1)$ chứ không phải $(-\infty, \frac{5}{2})$. Mệnh đề d) Bất phương trình $f(x) > 0$ có đúng 4 nghiệm nguyên. Bất phương trình $f(x) > 0$ tương đương: \[ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 4) > 0 \] \[ x^2 - 5x + 4 < 1 \] \[ x^2 - 5x + 3 < 0 \] Giải bất phương trình: \[ x^2 - 5x + 3 = 0 \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2} \] Các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \] Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, \frac{5 - \sqrt{13}}{2}) & (\frac{5 - \sqrt{13}}{2}, \frac{5 + \sqrt{13}}{2}) & (\frac{5 + \sqrt{13}}{2}, +\infty) \\ \hline x^2 - 5x + 3 & + & - & + \\ \end{array} \] Do đó, $x^2 - 5x + 3 < 0$ khi $x \in \left(\frac{5 - \sqrt{13}}{2}, \frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right)$. Kiểm tra các giá trị nguyên trong khoảng này: \[ \frac{5 - \sqrt{13}}{2} \approx 0.697, \quad \frac{5 + \sqrt{13}}{2} \approx 4.303 \] Các giá trị nguyên trong khoảng này là $x = 1, 2, 3, 4$. Tuy nhiên, $x = 1$ và $x = 4$ không thuộc tập xác định của hàm số. Do đó, chỉ có các giá trị $x = 2$ và $x = 3$ thỏa mãn. Mệnh đề d) sai vì chỉ có 2 nghiệm nguyên. Kết luận - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) sai.