Tính giá trị biểu thức P. Câu 2. (2 điểm) Biết $\lim_{\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{4x^2+ax+1}+bx)=-1.$ Tính giá trị biểu thức $P=a^2-3b^3.$

Question

Accepted Answer

Câu 2.
Để tính giá trị biểu thức $ P = a^2 - 3b^3 $, ta cần tìm giá trị của $ a $ và $ b $ từ giới hạn đã cho.

Ta có:
$$ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx) = -1 $$

Đầu tiên, ta sẽ biến đổi biểu thức trong giới hạn để dễ dàng hơn:
$$ \sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx = \left( \sqrt{4x^2 + ax + 1} + bx \right) \cdot \frac{\sqrt{4x^2 + ax + 1} - bx}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} - bx} $$
$$ = \frac{(4x^2 + ax + 1) - (bx)^2}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} - bx} $$
$$ = \frac{4x^2 + ax + 1 - b^2x^2}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} - bx} $$
$$ = \frac{(4 - b^2)x^2 + ax + 1}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} - bx} $$

Để giới hạn này tồn tại và bằng -1, tử số và mẫu số phải có cùng bậc cao nhất là $ x^2 $. Do đó, ta cần $ 4 - b^2 = 0 $:
$$ 4 - b^2 = 0 $$
$$ b^2 = 4 $$
$$ b = 2 \text{ hoặc } b = -2 $$

Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp:

1. Trường hợp $ b = 2 $:
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(4 - 4)x^2 + ax + 1}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} - 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} - 2x} $$

Phân tích thêm:
$$ \sqrt{4x^2 + ax + 1} \approx 2x + \frac{a}{4} \text{ khi } x \to +\infty $$
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{2x + \frac{a}{4} - 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{\frac{a}{4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4(ax + 1)}{a} = \lim_{x \to +\infty} \left( 4x + \frac{4}{a} \right) $$

Để giới hạn này bằng -1, ta cần:
$$ 4x + \frac{4}{a} = -1 $$
$$ \frac{4}{a} = -1 $$
$$ a = -4 $$

2. Trường hợp $ b = -2 $:
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(4 - 4)x^2 + ax + 1}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} + 2x} $$

Phân tích thêm:
$$ \sqrt{4x^2 + ax + 1} \approx 2x + \frac{a}{4} \text{ khi } x \to +\infty $$
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{2x + \frac{a}{4} + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{4x + \frac{a}{4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{4x + \frac{a}{4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{4x + \frac{a}{4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{4x + \frac{a}{4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{ax + 1}{4x + \frac{a}{4}} $$

Để giới hạn này bằng -1, ta cần:
$$ \frac{ax + 1}{4x + \frac{a}{4}} = -1 $$
$$ ax + 1 = -4x - \frac{a}{4} $$
$$ a = -4 $$

Vậy, ta có $ a = -4 $ và $ b = 2 $.

Tính giá trị biểu thức $ P = a^2 - 3b^3 $:
$$ P = (-4)^2 - 3(2)^3 $$
$$ P = 16 - 3 \cdot 8 $$
$$ P = 16 - 24 $$
$$ P = -8 $$

Đáp số: $ P = -8 $