Tìm giá trị của a. Tìm a để hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{1+3x}.\sqrt[3]{5+3x}-4}{x-1}&khi~x1\\frac{(a+2)x}4&khi~x

Question

Tìm giá trị của a. Tìm a để hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{1+3x}.\sqrt[3]{5+3x}-4}{x-1}&khi~x>1\\frac{(a+2)x}4&khi~x<1\end{array}ight.$ liên tục tại điểm $x=1.$

Accepted Answer

Để hàm số $f(x)$ liên tục tại điểm $x=1$, ta cần:
$$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} f(x) = f(1).$$

Trước tiên, tính $\lim_{x 	o 1^+} f(x)$:
$$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} \frac{\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} - 4}{x-1}.$$

Áp dụng phương pháp nhân lượng liên hợp:
$$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} \frac{\left(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} - 4ight) \left(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} + 4ight)}{(x-1)\left(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} + 4ight)}.$$

Sử dụng công thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} \frac{(1+3x) \cdot (5+3x) - 16}{(x-1)\left(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} + 4ight)}.$$

Rút gọn biểu thức:
$$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} \frac{15x^2 + 18x - 11}{(x-1)\left(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} + 4ight)}.$$

Phân tích mẫu số:
$$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} \frac{(x-1)(15x + 23)}{(x-1)\left(\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} + 4ight)}.$$

Rút gọn:
$$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \lim_{x 	o 1^+} \frac{15x + 23}{\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} + 4}.$$

Thay $x = 1$ vào biểu thức:
$$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = \frac{15 \cdot 1 + 23}{\sqrt{1+3 \cdot 1} \cdot \sqrt[3]{5+3 \cdot 1} + 4} = \frac{38}{\sqrt{4} \cdot \sqrt[3]{8} + 4} = \frac{38}{2 \cdot 2 + 4} = \frac{38}{8} = \frac{19}{4}.$$

Tiếp theo, tính $\lim_{x 	o 1^-} f(x)$:
$$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = \lim_{x 	o 1^-} \frac{(a+2)x}{4} = \frac{(a+2) \cdot 1}{4} = \frac{a+2}{4}.$$

Để hàm số liên tục tại điểm $x=1$, ta cần:
$$\frac{a+2}{4} = \frac{19}{4}.$$

Giải phương trình:
$$a + 2 = 19,$$
$$a = 17.$$

Vậy giá trị của $a$ là $17$.