Tính tổng nghiệm phương trình.

Câu 2. Điều kiện: $\cos x \neq 0$ hay $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ Ta có: \[ 5\sin x - 2 = 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 \tan^2 x \] Nhân cả hai vế với $\cos^2 x$: \[ 5\sin x \cos^2 x - 2\cos^2 x = 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 \sin^2 x \] Sử dụng công thức $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: \[ 5\sin x \cos^2 x - 2\cos^2 x = 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 (1 - \cos^2 x) \] Phân tích phương trình: \[ 5\sin x \cos^2 x - 2\cos^2 x = 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 - 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 \cos^2 x \] Nhóm các hạng tử liên quan: \[ 5\sin x \cos^2 x - 2\cos^2 x - 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 + 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 \cos^2 x = 0 \] Nhóm lại: \[ \cos^2 x (5\sin x - 2 - 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2) + 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 (\cos^2 x - 1) = 0 \] Sử dụng công thức $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$: \[ \cos^2 x (5\sin x - 2 - 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2) - 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 \sin^2 x = 0 \] Phân tích phương trình thành hai trường hợp: 1. $\cos^2 x = 0$ 2. $5\sin x - 2 - 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 = 0$ Trường hợp 1: $\cos^2 x = 0$ \[ \cos x = 0 \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \] Do điều kiện $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, nên trường hợp này bị loại. Trường hợp 2: $5\sin x - 2 - 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 = 0$ \[ 5\sin x - 2 = 3(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2})^2 \] Sử dụng công thức $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = -\sqrt{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$: \[ 5\sin x - 2 = 3(-\sqrt{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}))^2 \] \[ 5\sin x - 2 = 6\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \] Sử dụng công thức $\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1 - \cos(x - \frac{\pi}{2})}{2}$: \[ 5\sin x - 2 = 6 \cdot \frac{1 - \cos(x - \frac{\pi}{2})}{2} \] \[ 5\sin x - 2 = 3(1 - \cos(x - \frac{\pi}{2})) \] \[ 5\sin x - 2 = 3 - 3\cos(x - \frac{\pi}{2}) \] \[ 5\sin x + 3\cos(x - \frac{\pi}{2}) = 5 \] Sử dụng công thức $\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$: \[ 5\sin x + 3\sin x = 5 \] \[ 8\sin x = 5 \] \[ \sin x = \frac{5}{8} \] Giải phương trình $\sin x = \frac{5}{8}$ trên $(0; 2\pi)$: \[ x = \arcsin \left(\frac{5}{8}\right) \quad \text{hoặc} \quad x = \pi - \arcsin \left(\frac{5}{8}\right) \] Tổng các nghiệm: \[ x_1 + x_2 = \arcsin \left(\frac{5}{8}\right) + (\pi - \arcsin \left(\frac{5}{8}\right)) = \pi \] Đáp số: $\pi$