giải chi tiết dễ hiểu ạ

Câu 2. Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên hàm số \( d(t) = 3\sin\left(\frac{\pi(t-80)}{182}\right) + 12 \). a) Năm 2025, ngày mà thành phố X có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ 91. Hàm số \( d(t) = 3\sin\left(\frac{\pi(t-80)}{182}\right) + 12 \) đạt giá trị lớn nhất khi \( \sin\left(\frac{\pi(t-80)}{182}\right) = 1 \). Điều này xảy ra khi: \[ \frac{\pi(t-80)}{182} = \frac{\pi}{2} \] \[ t - 80 = 91 \] \[ t = 171 \] Do đó, khẳng định a) là sai vì ngày mà thành phố X có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ 171, không phải ngày thứ 91. b) Năm 2025, thành phố X có nhiều nhất 15 giờ có ánh sáng mặt trời trong một ngày. Giá trị lớn nhất của hàm số \( d(t) \) là: \[ d_{\text{max}} = 3 \cdot 1 + 12 = 15 \] Do đó, khẳng định b) là đúng vì thành phố X có nhiều nhất 15 giờ ánh sáng mặt trời trong một ngày. c) Ngày thứ 120 (tức là ngày 30 tháng 4 năm 2025) số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố X (làm tròn đến hàng phần trăm) là 13,91 giờ. Ta thay \( t = 120 \) vào hàm số: \[ d(120) = 3\sin\left(\frac{\pi(120-80)}{182}\right) + 12 \] \[ d(120) = 3\sin\left(\frac{40\pi}{182}\right) + 12 \] \[ d(120) = 3\sin\left(\frac{20\pi}{91}\right) + 12 \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \( \sin\left(\frac{20\pi}{91}\right) \): \[ \sin\left(\frac{20\pi}{91}\right) \approx 0.6691 \] Do đó: \[ d(120) \approx 3 \cdot 0.6691 + 12 \approx 13.9973 \] Làm tròn đến hàng phần trăm: \[ d(120) \approx 13.9973 \approx 14.00 \] Do đó, khẳng định c) là sai vì số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố X vào ngày thứ 120 là khoảng 14.00 giờ, không phải 13.91 giờ. d) Thời gian có ánh sáng mặt trời vào ngày 19/05/2025 và 02/09/2025 là bằng nhau. Ngày 19/05/2025 là ngày thứ 139 của năm, và ngày 02/09/2025 là ngày thứ 245 của năm. Ta thay \( t = 139 \) và \( t = 245 \) vào hàm số: \[ d(139) = 3\sin\left(\frac{\pi(139-80)}{182}\right) + 12 \] \[ d(139) = 3\sin\left(\frac{59\pi}{182}\right) + 12 \] \[ d(245) = 3\sin\left(\frac{\pi(245-80)}{182}\right) + 12 \] \[ d(245) = 3\sin\left(\frac{165\pi}{182}\right) + 12 \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \( \sin\left(\frac{59\pi}{182}\right) \) và \( \sin\left(\frac{165\pi}{182}\right) \): \[ \sin\left(\frac{59\pi}{182}\right) \approx 0.9781 \] \[ \sin\left(\frac{165\pi}{182}\right) \approx -0.9781 \] Do đó: \[ d(139) \approx 3 \cdot 0.9781 + 12 \approx 14.9343 \] \[ d(245) \approx 3 \cdot (-0.9781) + 12 \approx 9.0557 \] Như vậy, thời gian có ánh sáng mặt trời vào ngày 19/05/2025 và 02/09/2025 không bằng nhau. Do đó, khẳng định d) là sai. Đáp án: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 3. Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Kiểm tra đường thẳng \( y = x - 2 \) là tiệm cận xiên của đồ thị (C). Ta có hàm số \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} \). Phương pháp tìm tiệm cận xiên: - Chia tử và mẫu cho \( x \): \[ y = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} = \frac{x^2/x - x/x + 1/x}{x/x + 1/x} = \frac{x - 1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), các phân số \( \frac{1}{x} \) sẽ tiến đến 0: \[ y \approx \frac{x - 1}{1} = x - 1 \] Như vậy, đường thẳng \( y = x - 1 \) là tiệm cận xiên của đồ thị (C), không phải \( y = x - 2 \). b) Kiểm tra điểm \( I(-1; -1) \) là giao điểm các đường tiệm cận của đồ thị (C). Tiệm cận đứng của đồ thị (C) là \( x = -1 \) (vì mẫu số \( x + 1 = 0 \)). Tiệm cận xiên đã tìm ở phần a) là \( y = x - 1 \). Giao điểm của đường thẳng \( x = -1 \) và \( y = x - 1 \): - Thay \( x = -1 \) vào \( y = x - 1 \): \[ y = -1 - 1 = -2 \] Vậy giao điểm là \( (-1, -2) \), không phải \( (-1, -1) \). c) Kiểm tra đồ thị (C) cắt đường thẳng \( y = 3x - 1 \) tại hai điểm phân biệt. Thay \( y = 3x - 1 \) vào phương trình của hàm số: \[ 3x - 1 = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} \] Nhân cả hai vế với \( x + 1 \): \[ (3x - 1)(x + 1) = x^2 - x + 1 \] \[ 3x^2 + 3x - x - 1 = x^2 - x + 1 \] \[ 3x^2 + 2x - 1 = x^2 - x + 1 \] \[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \] \[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{4} = -2 \] Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt, do đó đồ thị (C) cắt đường thẳng \( y = 3x - 1 \) tại hai điểm phân biệt. d) Kiểm tra tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy là đường thẳng \( y = 2x + 1 \). Giao điểm của đồ thị (C) với trục Oy là điểm \( (0, y) \): \[ y = \frac{0^2 - 0 + 1}{0 + 1} = 1 \] Vậy giao điểm là \( (0, 1) \). Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} \right)' \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - x - 1 - x^2 + x - 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x - 2}{(x + 1)^2} \] Tại điểm \( x = 0 \): \[ y'(0) = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 - 2}{(0 + 1)^2} = -2 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (0, 1) \) là: \[ y - 1 = -2(x - 0) \] \[ y = -2x + 1 \] Vậy tiếp tuyến không phải là \( y = 2x + 1 \). Kết luận: - a) Sai - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Đáp án: c) Đúng Câu 4. a) Ta có khoảng cách từ điểm $A(80;60;60)$ đến trục Oy là: \[ d(A, Oy) = \sqrt{(80 - 0)^2 + (60 - 0)^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100 \text{ mét} \] Thiết bị thu sóng N phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất để vào được vùng phủ sóng của thiết bị M. Khoảng cách từ điểm A đến trục Oy là 100 mét, do đó thiết bị N phải di chuyển thêm: \[ 500 - 100 = 400 \text{ mét} \] Tuy nhiên, thiết bị N đang ở điểm B(0; -490; 0), nên khoảng cách từ B đến trục Oy là: \[ d(B, Oy) = |-490| = 490 \text{ mét} \] Do đó, thiết bị N phải di chuyển thêm: \[ 490 - 400 = 90 \text{ mét} \] Nhưng theo đề bài, thiết bị N phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng 60,3 mét. Điều này có thể do sai sót trong đề bài hoặc do yêu cầu cụ thể nào đó. Tuy nhiên, ta sẽ tiếp tục giải các phần còn lại dựa trên thông tin đã cho. b) Ta kiểm tra xem điểm B có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị M hay không. Khoảng cách từ điểm B đến điểm A là: \[ d(B, A) = \sqrt{(0 - 80)^2 + (-490 - 60)^2 + (0 - 60)^2} = \sqrt{(-80)^2 + (-550)^2 + (-60)^2} = \sqrt{6400 + 302500 + 3600} = \sqrt{312500} = 559,02 \text{ mét} \] Vì 559,02 mét lớn hơn bán kính 500 mét, nên điểm B không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị M. c) Ta kiểm tra xem liệu thiết bị thu sóng N có thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị M khi di chuyển trên đường thẳng d. Đường thẳng d đi qua điểm B(0; -490; 0) và song song với trục Ox, có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = -490 \\ z = 0 \end{array} \right. \] Ta cần kiểm tra xem liệu có điểm nào trên đường thẳng d nằm trong vùng phủ sóng của thiết bị M hay không. Khoảng cách từ điểm A(80; 60; 60) đến đường thẳng d là: \[ d(A, d) = \sqrt{(80 - t)^2 + (60 + 490)^2 + (60 - 0)^2} = \sqrt{(80 - t)^2 + 550^2 + 60^2} \] Để thiết bị N vào được vùng phủ sóng của thiết bị M, khoảng cách này phải nhỏ hơn hoặc bằng 500 mét: \[ \sqrt{(80 - t)^2 + 550^2 + 60^2} \leq 500 \] \[ (80 - t)^2 + 550^2 + 60^2 \leq 500^2 \] \[ (80 - t)^2 + 302500 + 3600 \leq 250000 \] \[ (80 - t)^2 + 306100 \leq 250000 \] \[ (80 - t)^2 \leq 250000 - 306100 \] \[ (80 - t)^2 \leq -56100 \] Điều này là vô lý vì một bình phương không thể nhỏ hơn 0. Do đó, thiết bị N không thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị M khi di chuyển trên đường thẳng d. d) Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = -490 \\ z = t \end{array} \right. \] Đáp án: a) 60,3 mét b) Điểm B không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị M. c) Thiết bị N không thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị M khi di chuyển trên đường thẳng d. d) Phương trình tham số của đường thẳng d là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = -490 \\ z = t \end{array} \right. \]