Một hình chóp tứ giác đều có độ dài trung đoạn nhỏ hơn độ dài cạnh đáy 2 cm, độ dài chiều cao của hình chóp bằng 8cm. Tính thể tích của hình chóp đó. Biết rằng, diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều đó là 384 cm2.

Question

Accepted Answer

Để tính thể tích của hình chóp tứ giác đều, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của hình chóp. Ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm độ dài cạnh đáy và độ dài trung đoạn:
   - Gọi độ dài cạnh đáy là $ a $ (cm).
   - Độ dài trung đoạn nhỏ hơn độ dài cạnh đáy 2 cm, nên độ dài trung đoạn là $ a - 2 $ (cm).

2. Tính diện tích toàn phần của hình chóp:
   - Diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh.
   - Diện tích đáy là $ a^2 $ (cm²).
   - Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là 4 lần diện tích một mặt bên.
   - Diện tích một mặt bên là $ \frac{1}{2} \times a \times \text{độ dài trung đoạn} = \frac{1}{2} \times a \times (a - 2) $.

3. Diện tích xung quanh:
   - Diện tích xung quanh là $ 4 \times \frac{1}{2} \times a \times (a - 2) = 2a(a - 2) $ (cm²).

4. Diện tích toàn phần:
   - Diện tích toàn phần là tổng diện tích đáy và diện tích xung quanh:
     $$
     a^2 + 2a(a - 2) = 384
     $$
   - Giải phương trình:
     $$
     a^2 + 2a^2 - 4a = 384
     $$
     $$
     3a^2 - 4a - 384 = 0
     $$

5. Giải phương trình bậc hai:
   - Ta sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm:
     $$
     a = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 3 \times (-384)}}{2 \times 3}
     $$
     $$
     a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4608}}{6}
     $$
     $$
     a = \frac{4 \pm \sqrt{4624}}{6}
     $$
     $$
     a = \frac{4 \pm 68}{6}
     $$
     $$
     a = \frac{72}{6} = 12 \quad \text{hoặc} \quad a = \frac{-64}{6} = -\frac{32}{3} \quad (\text{loại})
     $$

6. Tính diện tích đáy:
   - Diện tích đáy là $ a^2 = 12^2 = 144 $ (cm²).

7. Tính thể tích của hình chóp:
   - Thể tích của hình chóp là:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{3} \times 144 \times 8 = 384 \text{ cm}^3
     $$

Đáp số: Thể tích của hình chóp là 384 cm³.

Một hình chóp tứ giác đều có độ dài trung đoạn nhỏ hơn độ dài cạnh đáy 2 cm, độ dài chiều cao của hình chóp bằng 8cm. Tính thể tích của hình chóp đó. Biết rằng, diện tích toàn phần của hình chóp tứ giá...