Giải hộ mình câu này với các bạn

Ví dụ 1. a) Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \) và \( y \neq 0 \). Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được: \[ \frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 3 \] Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ hai, ta được: \[ \left( \frac{3}{x} - \frac{3}{y} \right) - \left( \frac{3}{x} + \frac{4}{y} \right) = 3 - 5 \] \[ -\frac{7}{y} = -2 \] \[ \frac{7}{y} = 2 \] \[ y = \frac{7}{2} \] Thay \( y = \frac{7}{2} \) vào phương trình thứ nhất, ta được: \[ \frac{1}{x} - \frac{2}{7} = 1 \] \[ \frac{1}{x} = 1 + \frac{2}{7} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{9}{7} \] \[ x = \frac{7}{9} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( \left( \frac{7}{9}, \frac{7}{2} \right) \). b) Điều kiện xác định: \( x \neq 2 \) và \( y \neq 1 \). Gọi \( u = \frac{1}{x-2} \) và \( v = \frac{1}{y-1} \), ta được hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l}u + v = 2 \\ 2u - 3v = 1\end{array}\right. \] Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được: \[ 2u + 2v = 4 \] Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ hai, ta được: \[ (2u + 2v) - (2u - 3v) = 4 - 1 \] \[ 5v = 3 \] \[ v = \frac{3}{5} \] Thay \( v = \frac{3}{5} \) vào phương trình thứ nhất, ta được: \[ u + \frac{3}{5} = 2 \] \[ u = 2 - \frac{3}{5} \] \[ u = \frac{7}{5} \] Do đó, ta có: \[ \frac{1}{x-2} = \frac{7}{5} \] \[ x - 2 = \frac{5}{7} \] \[ x = \frac{19}{7} \] \[ \frac{1}{y-1} = \frac{3}{5} \] \[ y - 1 = \frac{5}{3} \] \[ y = \frac{8}{3} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( \left( \frac{19}{7}, \frac{8}{3} \right) \). c) Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định riêng biệt. Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được: \[ 9x^2 + 3y^2 = 15 \] Cộng phương trình này với phương trình thứ hai, ta được: \[ (9x^2 + 3y^2) + (x^2 - 3y^2) = 15 + 1 \] \[ 10x^2 = 16 \] \[ x^2 = \frac{8}{5} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{8}{5}} \] \[ x = \pm \frac{2\sqrt{10}}{5} \] Thay \( x^2 = \frac{8}{5} \) vào phương trình thứ hai, ta được: \[ \frac{8}{5} - 3y^2 = 1 \] \[ 3y^2 = \frac{8}{5} - 1 \] \[ 3y^2 = \frac{3}{5} \] \[ y^2 = \frac{1}{5} \] \[ y = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} \] \[ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( \left( \frac{2\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5} \right) \), \( \left( \frac{2\sqrt{10}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) \), \( \left( -\frac{2\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5} \right) \), \( \left( -\frac{2\sqrt{10}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) \). Ví dụ 2: Để giải các hệ phương trình, ta sẽ thực hiện từng bước một theo phương pháp thế hoặc cộng trừ. Hệ phương trình a) \[ \left\{ \begin{array}{l} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \end{array} \right. \] Bước 1: Đặt \( u = x + y \) và \( v = x - y \). Bước 2: Thay vào hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2u + 3v = 4 \\ u + 2v = 5 \end{array} \right. \] Bước 3: Giải hệ phương trình này: Nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 2u + 4v = 10 \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình mới: \[ (2u + 4v) - (2u + 3v) = 10 - 4 \\ v = 6 \] Thay \( v = 6 \) vào phương trình \( u + 2v = 5 \): \[ u + 2(6) = 5 \\ u + 12 = 5 \\ u = -7 \] Bước 4: Tìm \( x \) và \( y \): \[ x + y = -7 \\ x - y = 6 \] Cộng hai phương trình: \[ 2x = -1 \\ x = -\frac{1}{2} \] Thay \( x = -\frac{1}{2} \) vào \( x + y = -7 \): \[ -\frac{1}{2} + y = -7 \\ y = -7 + \frac{1}{2} \\ y = -\frac{14}{2} + \frac{1}{2} \\ y = -\frac{13}{2} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{13}{2}\right) \] Hệ phương trình b) \[ \left\{ \begin{array}{l} 2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 \\ 3(x - 2) - 2(1 + y) = -3 \end{array} \right. \] Bước 1: Đặt \( u = x - 2 \) và \( v = 1 + y \). Bước 2: Thay vào hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2u + 3v = -2 \\ 3u - 2v = -3 \end{array} \right. \] Bước 3: Giải hệ phương trình này: Nhân phương trình thứ nhất với 3 và nhân phương trình thứ hai với 2: \[ 6u + 9v = -6 \\ 6u - 4v = -6 \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (6u + 9v) - (6u - 4v) = -6 - (-6) \\ 13v = 0 \\ v = 0 \] Thay \( v = 0 \) vào phương trình \( 2u + 3v = -2 \): \[ 2u + 3(0) = -2 \\ 2u = -2 \\ u = -1 \] Bước 4: Tìm \( x \) và \( y \): \[ x - 2 = -1 \\ x = 1 \] \[ 1 + y = 0 \\ y = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (1, -1) \] Ví dụ 3: Điều kiện xác định: $a)x\ne 0;y\ne 0$. $b)x\ne y-2;x\ne -y+1$. $a)$ Nhân phương trình thứ nhất với 4, nhân phương trình thứ hai với 15 rồi trừ vế theo vế ta được: $\frac{113}{y}=502\text\ \Rightarrow y=\frac{1}{4}$. Thay vào phương trình $\frac{15}{x}-\frac{7}{y}=9$ ta được $x=\frac{15}{37}$. $b)$ Đặt $u=x-y+2;v=x+y-1$. Ta được hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{u}-\frac{5}{v}=4,5\\\frac{3}{u}+\frac{2}{v}=4\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 2, nhân phương trình thứ hai với 5 rồi cộng vế theo vế ta được: $\frac{29}{u}=29\text\ \Rightarrow u=1$. Thay vào phương trình $\frac{7}{u}-\frac{5}{v}=4,5$ ta được $v=10$. Vậy $x-y+2=1\Rightarrow x=y-1$ và $x+y-1=10\Rightarrow x=11-y$. Suy ra $y-1=11-y\Rightarrow y=6$. Thay vào ta được $x=5$.