Giải hộ mình câu này với các bạn Ví dụ 1. Giải hệ phương trình,$a)\left\{\begin{array}{l}\frac1x-\frac1y=1\\frac3x+\frac4y=5\end{array}\right.$ $b)\left\{\begin{array}{l}\frac1{x-2}+\frac1{y-1}=2\\frac2{x-2}-\frac3{y-1}=1\end{array}\right.$ $c)\left\{\begin{array}{l}3x^2+y^2=5\x^2-3y^2=1\end{array}\right.$,Ví dụ 2:,Giải các hệ phương trình:,$)\left\{\begin{array}{l}2(x+y)+3(x-y)=4\(x+y)+2(x-y)=5\end{array}\right.$ $b)\left\{\begin{array}{l}2(x-2)+3(1+y)=-2\3(x-2)-2(1+y)=-3\end{array}\right.$,Ví dụ 3: Giải hệ phương trình,$a)\left\{\begin{array}{l}\frac{15}x-\frac7y=9\\frac4x+\frac9y=35.\end{array}\right.$ $b)\left\{\begin{array}{l}\frac7{x-y+2}-\frac5{x+y-1}=4,5\\frac3{x-y+2}+\frac2{x+y-1}=4\end{array}\right.$

Question

Accepted Answer

Ví dụ 1.
a) Điều kiện xác định: $ x \neq 0 $ và $ y \neq 0 $.

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được:
$$ \frac{3}{x} - \frac{3}{y} = 3 $$

Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ hai, ta được:
$$ \left( \frac{3}{x} - \frac{3}{y} \right) - \left( \frac{3}{x} + \frac{4}{y} \right) = 3 - 5 $$
$$ -\frac{7}{y} = -2 $$
$$ \frac{7}{y} = 2 $$
$$ y = \frac{7}{2} $$

Thay $ y = \frac{7}{2} $ vào phương trình thứ nhất, ta được:
$$ \frac{1}{x} - \frac{2}{7} = 1 $$
$$ \frac{1}{x} = 1 + \frac{2}{7} $$
$$ \frac{1}{x} = \frac{9}{7} $$
$$ x = \frac{7}{9} $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ \left( \frac{7}{9}, \frac{7}{2} \right) $.

b) Điều kiện xác định: $ x \neq 2 $ và $ y \neq 1 $.

Gọi $ u = \frac{1}{x-2} $ và $ v = \frac{1}{y-1} $, ta được hệ phương trình:
$$ \left\{\begin{array}{l}u + v = 2 \ 2u - 3v = 1\end{array}\right. $$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được:
$$ 2u + 2v = 4 $$

Lấy phương trình này trừ đi phương trình thứ hai, ta được:
$$ (2u + 2v) - (2u - 3v) = 4 - 1 $$
$$ 5v = 3 $$
$$ v = \frac{3}{5} $$

Thay $ v = \frac{3}{5} $ vào phương trình thứ nhất, ta được:
$$ u + \frac{3}{5} = 2 $$
$$ u = 2 - \frac{3}{5} $$
$$ u = \frac{7}{5} $$

Do đó, ta có:
$$ \frac{1}{x-2} = \frac{7}{5} $$
$$ x - 2 = \frac{5}{7} $$
$$ x = \frac{19}{7} $$

$$ \frac{1}{y-1} = \frac{3}{5} $$
$$ y - 1 = \frac{5}{3} $$
$$ y = \frac{8}{3} $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ \left( \frac{19}{7}, \frac{8}{3} \right) $.

c) Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định riêng biệt.

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được:
$$ 9x^2 + 3y^2 = 15 $$

Cộng phương trình này với phương trình thứ hai, ta được:
$$ (9x^2 + 3y^2) + (x^2 - 3y^2) = 15 + 1 $$
$$ 10x^2 = 16 $$
$$ x^2 = \frac{8}{5} $$
$$ x = \pm \sqrt{\frac{8}{5}} $$
$$ x = \pm \frac{2\sqrt{10}}{5} $$

Thay $ x^2 = \frac{8}{5} $ vào phương trình thứ hai, ta được:
$$ \frac{8}{5} - 3y^2 = 1 $$
$$ 3y^2 = \frac{8}{5} - 1 $$
$$ 3y^2 = \frac{3}{5} $$
$$ y^2 = \frac{1}{5} $$
$$ y = \pm \sqrt{\frac{1}{5}} $$
$$ y = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} $$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ \left( \frac{2\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5} \right) $, $ \left( \frac{2\sqrt{10}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) $, $ \left( -\frac{2\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5} \right) $, $ \left( -\frac{2\sqrt{10}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) $.

Ví dụ 2:
Để giải các hệ phương trình, ta sẽ thực hiện từng bước một theo phương pháp thế hoặc cộng trừ.

Hệ phương trình a)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2(x + y) + 3(x - y) = 4 \
(x + y) + 2(x - y) = 5
\end{array}
\right.
$$

Bước 1: Đặt $ u = x + y $ và $ v = x - y $.

Bước 2: Thay vào hệ phương trình:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2u + 3v = 4 \
u + 2v = 5
\end{array}
\right.
$$

Bước 3: Giải hệ phương trình này:
Nhân phương trình thứ hai với 2:
$$
2u + 4v = 10
$$

Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình mới:
$$
(2u + 4v) - (2u + 3v) = 10 - 4 \
v = 6
$$

Thay $ v = 6 $ vào phương trình $ u + 2v = 5 $:
$$
u + 2(6) = 5 \
u + 12 = 5 \
u = -7
$$

Bước 4: Tìm $ x $ và $ y $:
$$
x + y = -7 \
x - y = 6
$$

Cộng hai phương trình:
$$
2x = -1 \
x = -\frac{1}{2}
$$

Thay $ x = -\frac{1}{2} $ vào $ x + y = -7 $:
$$
-\frac{1}{2} + y = -7 \
y = -7 + \frac{1}{2} \
y = -\frac{14}{2} + \frac{1}{2} \
y = -\frac{13}{2}
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{13}{2}\right)
$$

Hệ phương trình b)
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2(x - 2) + 3(1 + y) = -2 \
3(x - 2) - 2(1 + y) = -3
\end{array}
\right.
$$

Bước 1: Đặt $ u = x - 2 $ và $ v = 1 + y $.

Bước 2: Thay vào hệ phương trình:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2u + 3v = -2 \
3u - 2v = -3
\end{array}
\right.
$$

Bước 3: Giải hệ phương trình này:
Nhân phương trình thứ nhất với 3 và nhân phương trình thứ hai với 2:
$$
6u + 9v = -6 \
6u - 4v = -6
$$

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
$$
(6u + 9v) - (6u - 4v) = -6 - (-6) \
13v = 0 \
v = 0
$$

Thay $ v = 0 $ vào phương trình $ 2u + 3v = -2 $:
$$
2u + 3(0) = -2 \
2u = -2 \
u = -1
$$

Bước 4: Tìm $ x $ và $ y $:
$$
x - 2 = -1 \
x = 1
$$

$$
1 + y = 0 \
y = -1
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
$$
(x, y) = (1, -1)
$$

Ví dụ 3:
Điều kiện xác định: $a)x\ne 0;y\ne 0$. 
$b)x\ne y-2;x\ne -y+1$. 
$a)$ Nhân phương trình thứ nhất với 4, nhân phương trình thứ hai với 15 rồi trừ vế theo vế ta được: $\frac{113}{y}=502\text\ \Rightarrow y=\frac{1}{4}$. Thay vào phương trình $\frac{15}{x}-\frac{7}{y}=9$ ta được $x=\frac{15}{37}$. 
$b)$ Đặt $u=x-y+2;v=x+y-1$. Ta được hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{u}-\frac{5}{v}=4,5\\frac{3}{u}+\frac{2}{v}=4\end{array}\right.$ 
Nhân phương trình thứ nhất với 2, nhân phương trình thứ hai với 5 rồi cộng vế theo vế ta được: $\frac{29}{u}=29\text\ \Rightarrow u=1$. Thay vào phương trình $\frac{7}{u}-\frac{5}{v}=4,5$ ta được $v=10$. 
Vậy $x-y+2=1\Rightarrow x=y-1$ và $x+y-1=10\Rightarrow x=11-y$. 
Suy ra $y-1=11-y\Rightarrow y=6$. 
Thay vào ta được $x=5$.