Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 dm3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng / m3. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó phải trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần tìm các kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công là thấp nhất. Ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt ẩn và điều kiện:

Gọi chiều rộng của đáy bể là $ x $ (dm), thì chiều dài của đáy bể là $ 2x $ (dm). Gọi chiều cao của bể là $ h $ (dm).

Do thể tích của bể là 288 dm$^3$, ta có phương trình:
   $$
   x \cdot 2x \cdot h = 288
   $$
   $$
   2x^2h = 288
   $$
   $$
   h = \frac{288}{2x^2} = \frac{144}{x^2}
   $$

2. Diện tích cần xây dựng:

Diện tích cần xây dựng là diện tích xung quanh của bể, bao gồm đáy và bốn mặt bên. Diện tích này là:
   $$
   S = x \cdot 2x + 2(x \cdot h + 2x \cdot h)
   $$
   $$
   S = 2x^2 + 2xh + 4xh
   $$
   $$
   S = 2x^2 + 6xh
   $$

Thay $ h = \frac{144}{x^2} $ vào, ta có:
   $$
   S = 2x^2 + 6x \cdot \frac{144}{x^2}
   $$
   $$
   S = 2x^2 + \frac{864}{x}
   $$

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ S $, ta tính đạo hàm của $ S $ theo $ x $ và tìm nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0:
   $$
   S' = 4x - \frac{864}{x^2}
   $$

Giải phương trình $ S' = 0 $:
   $$
   4x - \frac{864}{x^2} = 0
   $$
   $$
   4x^3 = 864
   $$
   $$
   x^3 = 216
   $$
   $$
   x = \sqrt[3]{216} = 6
   $$

Với $ x = 6 $, ta có:
   $$
   h = \frac{144}{x^2} = \frac{144}{36} = 4
   $$

Vậy các kích thước của bể là: chiều rộng $ x = 6 $ dm, chiều dài $ 2x = 12 $ dm, chiều cao $ h = 4 $ dm.

4. Tính chi phí thuê nhân công:

Diện tích cần xây dựng khi $ x = 6 $ là:
   $$
   S = 2 \cdot 6^2 + \frac{864}{6} = 72 + 144 = 216 \text{ dm}^2
   $$

Đổi diện tích từ dm$^2$ sang m$^2$:
   $$
   S = 21.6 \text{ m}^2
   $$

Chi phí thuê nhân công là:
   $$
   \text{Chi phí} = 21.6 \times 500000 = 10800000 \text{ đồng}
   $$

Vậy, chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể là 10,800,000 đồng.

Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 dm3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đ...