Trả lời câu hỏi

Câu 1: Ta sẽ tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 4x^3 + e^x - 1 \). Nguyên hàm của \( 4x^3 \): \[ \int 4x^3 \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 + C_1 \] Nguyên hàm của \( e^x \): \[ \int e^x \, dx = e^x + C_2 \] Nguyên hàm của \( -1 \): \[ \int -1 \, dx = -x + C_3 \] Kết hợp tất cả các phần trên, ta có: \[ \int (4x^3 + e^x - 1) \, dx = x^4 + e^x - x + C \] trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~x^4 + e^x - x + C \] Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi quay một hình phẳng quanh trục hoành. Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \([a; b]\). Hình phẳng \( D \) được giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \). Khi quay hình phẳng \( D \) quanh trục hoành, thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \] Công thức này xuất phát từ việc tính thể tích của một hình tròn có bán kính \( f(x) \) và độ dày vi phân \( dx \), sau đó tích phân trên đoạn \([a; b]\). Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh công thức này với các lựa chọn đã cho: - A. \( V = \pi^2 \int_0^3 f(x) \, dx \) - B. \( V = 2\pi \int_0^b f^2(x) \, dx \) - C. \( V = \pi^2 \int_0^b f^2(x) \, dx \) - D. \( V = \pi \int_0^2 f^2(x) \, dx \) Dựa vào công thức chuẩn \( V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \), ta thấy rằng: - Công thức đúng phải có dạng \( \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \). - Lựa chọn D có dạng \( \pi \int_0^2 f^2(x) \, dx \), nhưng giới hạn tích phân không khớp với đoạn \([a; b]\). - Lựa chọn B có dạng \( 2\pi \int_0^b f^2(x) \, dx \), nhưng có hệ số \( 2\pi \) không đúng. - Lựa chọn C có dạng \( \pi^2 \int_0^b f^2(x) \, dx \), nhưng có hệ số \( \pi^2 \) không đúng. - Lựa chọn A có dạng \( \pi^2 \int_0^3 f(x) \, dx \), không đúng cả về hệ số và dạng hàm. Do đó, không có lựa chọn nào trong các đáp án A, B, C, D hoàn toàn khớp với công thức chuẩn. Tuy nhiên, nếu chỉ xét về dạng công thức, lựa chọn D gần nhất với công thức chuẩn, nhưng cần điều chỉnh giới hạn tích phân cho đúng với đoạn \([a; b]\). Câu 3: Mốt của bảng số liệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng. Từ bảng tần số ghép nhóm, ta thấy rằng nhóm điểm [7; 9) có tần số lớn nhất là 14. Để tìm mốt của bảng ghép nhóm, ta sử dụng công thức: \[ Mo = L + \left( \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})} \right) \times h \] Trong đó: - \( L \) là giới hạn dưới của nhóm có tần số lớn nhất. - \( f_m \) là tần số của nhóm có tần số lớn nhất. - \( f_{m-1} \) là tần số của nhóm trước nhóm có tần số lớn nhất. - \( f_{m+1} \) là tần số của nhóm sau nhóm có tần số lớn nhất. - \( h \) là khoảng cách giữa các nhóm. Áp dụng vào bài toán: - \( L = 7 \) - \( f_m = 14 \) - \( f_{m-1} = 10 \) - \( f_{m+1} = 7 \) - \( h = 2 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ Mo = 7 + \left( \frac{14 - 10}{(14 - 10) + (14 - 7)} \right) \times 2 \] \[ Mo = 7 + \left( \frac{4}{4 + 7} \right) \times 2 \] \[ Mo = 7 + \left( \frac{4}{11} \right) \times 2 \] \[ Mo = 7 + \frac{8}{11} \] \[ Mo \approx 7 + 0,73 \] \[ Mo \approx 7,73 \] Vậy mốt của bảng ghép nhóm trên là 7,73. Đáp án đúng là: A. 7,73. Câu 4: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( A(1;2;-1) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P): x - 3y + 2z - 5 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \): Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình \( x - 3y + 2z - 5 = 0 \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \( \vec{n} = (1, -3, 2) \). 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \( (P) \) nên vectơ chỉ phương của đường thẳng sẽ cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là \( \vec{d} = (1, -3, 2) \). 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \( A(1;2;-1) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{d} = (1, -3, 2) \) nên phương trình tham số của đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 - 3t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] 4. Đối chiếu với các đáp án: Phương trình tham số của đường thẳng đã tìm được trùng với đáp án D: \[ D.\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 - 3t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] Vậy, đáp án đúng là D. Câu 5: Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} \), ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho mẫu số bằng 0, tức là: \[ mx + n = 0 \] Giải phương trình này, ta có: \[ x = -\frac{n}{m} \] Đây là phương trình của tiệm cận đứng. Quan sát đồ thị, ta thấy có một đường thẳng đứng tại \( x = 1 \). Do đó, tiệm cận đứng của đồ thị là \( x = 1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~x=1.} \] Câu 6: Để giải bất phương trình \(\log_2 x < \log_2 (12 - 3x)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Điều kiện để \(\log_2 x\) có nghĩa là \(x > 0\). - Điều kiện để \(\log_2 (12 - 3x)\) có nghĩa là \(12 - 3x > 0\), tức là \(x < 4\). Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: \[ 0 < x < 4 \] 2. Giải bất phương trình: - Vì cơ số của cả hai vế đều là 2 (lớn hơn 1), ta có thể bỏ logarit và giữ nguyên bất đẳng thức: \[ x < 12 - 3x \] - Giải bất phương trình này: \[ x + 3x < 12 \\ 4x < 12 \\ x < 3 \] 3. Kết hợp điều kiện xác định và kết quả: - Từ điều kiện xác định \(0 < x < 4\) và kết quả \(x < 3\), ta có: \[ 0 < x < 3 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(\log_2 x < \log_2 (12 - 3x)\) là: \[ (0; 3) \] Đáp án đúng là: \[ D.~(0; 3) \]