Trả lời câu hỏi

Câu 7: Để xác định vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), ta cần tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) từ phương trình của nó. Đường thẳng \(d\) có phương trình: \[ \frac{x}{-1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-3}{3} \] Từ phương trình này, ta có thể thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u} = (-1, 2, 3)\). Bây giờ, ta kiểm tra từng vectơ đã cho xem có phải là vectơ chỉ phương của \(d\) hay không. Một vectơ \(\overrightarrow{v} = (a, b, c)\) là vectơ chỉ phương của \(d\) nếu nó cùng phương với \(\overrightarrow{u} = (-1, 2, 3)\), tức là tồn tại một số thực \(k\) sao cho: \[ (a, b, c) = k(-1, 2, 3) \] Kiểm tra từng vectơ: 1. \(\overrightarrow{u_1} = (-1, 2, 3)\): Rõ ràng, \(\overrightarrow{u_1}\) trùng với \(\overrightarrow{u}\), nên \(\overrightarrow{u_1}\) là vectơ chỉ phương của \(d\). 2. \(\overrightarrow{u_2} = (3, -6, -9)\): Ta có thể viết \(\overrightarrow{u_2} = -3(-1, 2, 3)\), nên \(\overrightarrow{u_2}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). Do đó, \(\overrightarrow{u_2}\) là vectơ chỉ phương của \(d\). 3. \(\overrightarrow{u_5} = (1, -2, -3)\): Ta có thể viết \(\overrightarrow{u_5} = -1(-1, 2, 3)\), nên \(\overrightarrow{u_5}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). Do đó, \(\overrightarrow{u_5}\) là vectơ chỉ phương của \(d\). 4. \(\overrightarrow{u_4} = (-2, 4, 3)\): Ta kiểm tra xem có tồn tại \(k\) sao cho \((-2, 4, 3) = k(-1, 2, 3)\) hay không. - Từ \(-2 = k(-1)\), suy ra \(k = 2\). - Thay \(k = 2\) vào phương trình thứ hai: \(4 = 2 \times 2 = 4\), đúng. - Thay \(k = 2\) vào phương trình thứ ba: \(3 \neq 2 \times 3 = 6\), không đúng. Do đó, không tồn tại \(k\) thỏa mãn cả ba phương trình, nên \(\overrightarrow{u_4}\) không cùng phương với \(\overrightarrow{u}\). Vậy, vectơ không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u_4} = (-2, 4, 3)\). Câu 8: Để tìm góc giữa hai đường thẳng \(MQ\) và \(NP\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các tam giác cân: - Tam giác \(MNP\) cân tại \(M\), do đó \(MN = MP\). - Tam giác \(QNP\) cân tại \(Q\), do đó \(QN = QP\). 2. Xác định góc giữa hai đường thẳng: - Góc giữa hai đường thẳng \(MQ\) và \(NP\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{MQ}\) và \(\overrightarrow{NP}\). 3. Sử dụng tích vô hướng: - Giả sử \(\overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{b}\). - Góc giữa hai vectơ được tính bằng công thức: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{\|\overrightarrow{a}\| \cdot \|\overrightarrow{b}\|} \] - Do \(MNPQ\) là tứ diện đều, các cạnh bằng nhau, nên \(\|\overrightarrow{a}\| = \|\overrightarrow{b}\|\). 4. Tính toán cụ thể: - Vì \(MNPQ\) là tứ diện đều, các góc giữa các cạnh là \(60^\circ\). - Do đó, góc giữa hai đường thẳng \(MQ\) và \(NP\) là \(60^\circ\). Vậy, đáp án đúng là \(C.~60^\circ\). Câu 9: Để giải phương trình \(3^{r-1} = 27\), chúng ta cần làm theo các bước sau: 1. Biểu diễn 27 dưới dạng lũy thừa của 3: Ta biết rằng \(27 = 3^3\). 2. Thay vào phương trình: Phương trình trở thành: \[ 3^{r-1} = 3^3 \] 3. So sánh các số mũ: Vì cơ số của hai vế đều là 3, nên ta có thể so sánh các số mũ: \[ r - 1 = 3 \] 4. Giải phương trình để tìm \(r\): \[ r - 1 = 3 \implies r = 3 + 1 \implies r = 4 \] Vậy nghiệm của phương trình là \(r = 4\). Đáp án đúng là: \(D.~x=4\) Câu 10: Để tìm số hạng \( u_2 \) của cấp số cộng \((u_n)\) với \( u_1 = 4 \) và công sai \( d = 8 \), ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( u_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là công sai, - \( n \) là vị trí của số hạng trong dãy. Áp dụng vào bài toán này để tìm \( u_2 \): \[ u_2 = u_1 + (2-1)d \] \[ u_2 = 4 + 1 \cdot 8 \] \[ u_2 = 4 + 8 \] \[ u_2 = 12 \] Vậy số hạng \( u_2 \) của cấp số cộng đã cho là 12. Đáp án đúng là: C. 12. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, ta cần kiểm tra từng đẳng thức vector trong hình hộp chữ nhật. A. \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{B_1A_1}\) - \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{B_1C_1}\) và \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_1A_1}\) do các cạnh tương ứng của hình hộp bằng nhau và song song. - Đẳng thức này đúng. B. \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{D_1A_1} = \overrightarrow{DC}\) - \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DC}\) do các cạnh đối diện của hình hộp bằng nhau và song song. - \(\overrightarrow{D_1C_1} + \overrightarrow{D_1A_1}\) không thể bằng \(\overrightarrow{0}\) vì \(\overrightarrow{D_1C_1}\) và \(\overrightarrow{D_1A_1}\) không phải là các vector đối nhau. - Đẳng thức này sai. C. \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{BD_1}\) - \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}\) - \(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{BD_1}\) do \(\overrightarrow{BB_1}\) là vector chiều cao của hình hộp. - Đẳng thức này đúng. D. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_1} + \overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BC}\) - \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{BD}\) - \(\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{BD_1} \neq \overrightarrow{BC}\) vì \(\overrightarrow{BD_1}\) không phải là vector đối của \(\overrightarrow{BD}\). - Đẳng thức này sai. Kết luận: Đẳng thức sai là B và D. Câu 12: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần quan sát đồ thị của hàm số. 1. Đồng biến: Hàm số đồng biến trên một khoảng nếu đồ thị đi lên khi di chuyển từ trái sang phải trong khoảng đó. 2. Quan sát đồ thị: - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \), đồ thị đi lên, tức là hàm số đồng biến. - Từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), đồ thị đi xuống, tức là hàm số nghịch biến. 3. Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0, 2) \). Vậy đáp án đúng là \( C.~(0;2). \)