Giải cụ thể và lập bảng biến thiên giúp e vs ạ INH ĐƠN DIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ,$D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}...~BNN:$ Tìm các khoảng đơn điệu của các hsố sau.,$a)~f(x)=x^4-6x^2+8x+1$,$b)|1x|=x^4+4x+6$,$c)~f(x)=x^3-3x^2-9x+2025$,$f)~f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$,$e~|x|=\frac{-4x+2}{x+3}$

Question

Accepted Answer

Giải chi tiết các bài toán về tính đơn điệu và cực trị của hàm số

a) $ f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x + 1 $

Bước 1: Tìm tập xác định
Tập xác định $ D = \mathbb{R} $.

Bước 2: Tính đạo hàm
$$ f'(x) = 4x^3 - 12x + 8 $$

Bước 3: Giải phương trình $ f'(x) = 0 $
$$ 4x^3 - 12x + 8 = 0 $$
$$ x^3 - 3x + 2 = 0 $$
$$ (x-1)^2(x+2) = 0 $$
$$ x = 1 \text{ (nghiệm kép)}, x = -2 $$

Bước 4: Lập bảng biến thiên
| $ x $ | $ -\infty $ | $ -2 $ | $ 1 $ | $ +\infty $ |
|-----------|----------------|------------|----------|----------------|
| $ f'(x) $ | $ - $        | $ 0 $   | $ 0 $ | $ + $        |
| $ f(x) $  | $ \searrow $ | $ \nearrow $ | $ \searrow $ | $ \nearrow $ |

Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-2, 1) $ và $ (1, +\infty) $.
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty, -2) $ và $ (1, +\infty) $.

b) $ f(x) = x^4 + 4x + 6 $

Bước 1: Tìm tập xác định
Tập xác định $ D = \mathbb{R} $.

Bước 2: Tính đạo hàm
$$ f'(x) = 4x^3 + 4 $$

Bước 3: Giải phương trình $ f'(x) = 0 $
$$ 4x^3 + 4 = 0 $$
$$ x^3 + 1 = 0 $$
$$ x = -1 $$

Bước 4: Lập bảng biến thiên
| $ x $ | $ -\infty $ | $ -1 $ | $ +\infty $ |
|-----------|----------------|------------|----------------|
| $ f'(x) $ | $ - $        | $ 0 $   | $ + $        |
| $ f(x) $  | $ \searrow $ | $ \nearrow $ | $ \nearrow $ |

Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-1, +\infty) $.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-\infty, -1) $.

c) $ f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2025 $

Bước 1: Tìm tập xác định
Tập xác định $ D = \mathbb{R} $.

Bước 2: Tính đạo hàm
$$ f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 $$

Bước 3: Giải phương trình $ f'(x) = 0 $
$$ 3x^2 - 6x - 9 = 0 $$
$$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$
$$ (x-3)(x+1) = 0 $$
$$ x = 3, x = -1 $$

Bước 4: Lập bảng biến thiên
| $ x $ | $ -\infty $ | $ -1 $ | $ 3 $ | $ +\infty $ |
|-----------|----------------|------------|----------|----------------|
| $ f'(x) $ | $ + $        | $ 0 $   | $ 0 $ | $ + $        |
| $ f(x) $  | $ \nearrow $ | $ \searrow $ | $ \nearrow $ | $ \nearrow $ |

Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (3, +\infty) $.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-1, 3) $.

d) $ f(x) = \frac{2x+1}{x+1} $

Bước 1: Tìm tập xác định
Tập xác định $ D = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $.

Bước 2: Tính đạo hàm
$$ f'(x) = \frac{(2)(x+1) - (2x+1)(1)}{(x+1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x - 1}{(x+1)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} $$

Bước 3: Xét dấu của $ f'(x) $
$$ f'(x) > 0 \quad \forall x \neq -1 $$

Bước 4: Lập bảng biến thiên
| $ x $ | $ -\infty $ | $ -1 $ | $ +\infty $ |
|-----------|----------------|------------|----------------|
| $ f'(x) $ | $ + $        | $ + $   | $ + $        |
| $ f(x) $  | $ \nearrow $ | $ \nearrow $ | $ \nearrow $ |

Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (-1, +\infty) $.

e) $ f(x) = \frac{-4x+2}{x+3} $

Bước 1: Tìm tập xác định
Tập xác định $ D = \mathbb{R} \setminus \{-3\} $.

Bước 2: Tính đạo hàm
$$ f'(x) = \frac{(-4)(x+3) - (-4x+2)(1)}{(x+3)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{-4x - 12 + 4x - 2}{(x+3)^2} $$
$$ f'(x) = \frac{-14}{(x+3)^2} $$

Bước 3: Xét dấu của $ f'(x) $
$$ f'(x) < 0 \quad \forall x \neq -3 $$

Bước 4: Lập bảng biến thiên
| $ x $ | $ -\infty $ | $ -3 $ | $ +\infty $ |
|-----------|----------------|------------|----------------|
| $ f'(x) $ | $ - $        | $ - $   | $ - $        |
| $ f(x) $  | $ \searrow $ | $ \searrow $ | $ \searrow $ |

Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng $ (-\infty, -3) $ và $ (-3, +\infty) $.