Tập xác định:
Ta có
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
Đáp án đúng là:
Câu 98:
Để xác định tính đơn điệu của hàm số , ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
Bước 2: Tìm các điểm dừng bằng cách giải phương trình :
Bước 3: Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng và .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Từ đó, ta thấy rằng hàm số nghịch biến trên khoảng .
Do đó, khẳng định đúng là:
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 99:
Để xác định tính đơn điệu của hàm số , chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
Hàm số là một phân thức, nên chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức:
Bước 2: Xét dấu của đạo hàm.
Đạo hàm luôn dương vì mẫu số luôn dương (trừ khi , nhưng tại điểm này hàm số không xác định).
Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu.
Vì trên các khoảng và , hàm số luôn đồng biến trên các khoảng này.
Do đó, đáp án đúng là:
B. Hàm số luôn đồng biến trên .
Câu 100:
Để xác định tính đơn điệu của hàm số , ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
Bước 2: Giải phương trình để tìm các điểm tới hạn.
Bước 3: Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng , , và .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề:
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng . Đúng.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng . Đúng.
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng . Sai.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng . Đúng.
Vậy mệnh đề sai là:
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 101:
Để xác định khoảng đồng biến của hàm số , ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm.
1. Tính đạo hàm của hàm số:
2. Tìm các điểm dừng bằng cách giải phương trình :
3. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng và .
- Trên khoảng :
Chọn :
Hàm số nghịch biến trên khoảng này.
- Trên khoảng :
Chọn :
Hàm số đồng biến trên khoảng này.
- Trên khoảng :
Chọn :
Hàm số nghịch biến trên khoảng này.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Đáp án đúng là:
Câu 102:
Để hàm số (với ) luôn đồng biến trên , đạo hàm của nó phải luôn dương trên .
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
Bước 2: Để hàm số luôn đồng biến, đạo hàm phải luôn dương trên . Điều này xảy ra khi đồ thị của nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, tức là với mọi .
Bước 3: Xét dấu của :
Đây là một hàm bậc hai. Để với mọi , cần thỏa mãn hai điều kiện:
1. Hệ số của phải dương ().
2. Biệt thức của phương trình phải âm ().
Bước 4: Tính biệt thức của phương trình :
Bước 5: Để :
Bước 6: Kết hợp các điều kiện đã tìm được:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 103:
Để xác định tính đơn điệu của hàm số , ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm.
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số.
Bước 2: Giải phương trình để tìm các điểm tới hạn.
Bước 3: Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng , , và .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
Kết luận:
Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Do đó, khẳng định đúng là:
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 104:
Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số dựa trên đồ thị, ta cần quan sát các đoạn mà đồ thị đi xuống khi di chuyển từ trái sang phải.
Quan sát đồ thị:
1. Từ đến , đồ thị đi lên.
2. Từ đến , đồ thị đi lên.
3. Từ đến , đồ thị đi xuống.
4. Từ đến , đồ thị có cả đoạn đi lên và đi xuống.
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Do đó, đáp án đúng là