Tính diện tích tam giác. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y\leq6\x+y\leq4\x\geq0\y\geq0\end{array} ight.$ ta được một miền đa giác,Tính diện tích của đa giác đó.

Question

Tính diện tích tam giác. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y\leq6\x+y\leq4\x\geq0\y\geq0\end{array}ight.$ ta được một miền đa giác,Tính diện tích của đa giác đó.

Accepted Answer

Để tính diện tích của miền đa giác được xác định bởi hệ bất phương trình, ta cần tìm các đỉnh của đa giác này bằng cách giải các hệ phương trình tương ứng với các đường thẳng biên của miền.

Bước 1: Tìm giao điểm của các đường thẳng

1. Giao điểm của $3x + y = 6$ và $x + y = 4$:

Giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   3x + y = 6 \
   x + y = 4
   \end{cases}
   $$

Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất:
   $$
   (3x + y) - (x + y) = 6 - 4 \
   2x = 2 \
   x = 1
   $$

Thay $x = 1$ vào phương trình $x + y = 4$:
   $$
   1 + y = 4 \
   y = 3
   $$

Vậy, giao điểm là $A(1, 3)$.

2. Giao điểm của $3x + y = 6$ và $x = 0$:

Thay $x = 0$ vào phương trình $3x + y = 6$:
   $$
   3(0) + y = 6 \
   y = 6
   $$

Vậy, giao điểm là $B(0, 6)$.

3. Giao điểm của $x + y = 4$ và $y = 0$:

Thay $y = 0$ vào phương trình $x + y = 4$:
   $$
   x + 0 = 4 \
   x = 4
   $$

Vậy, giao điểm là $C(4, 0)$.

4. Giao điểm của $x = 0$ và $y = 0$:

Đây là gốc tọa độ $D(0, 0)$.

Bước 2: Xác định miền đa giác

Miền đa giác được xác định bởi các đỉnh $A(1, 3)$, $B(0, 6)$, $C(4, 0)$, và $D(0, 0)$.

Bước 3: Tính diện tích đa giác

Đa giác này có thể được chia thành hai tam giác: $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$.

1. Diện tích $\triangle ABD$:

Sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ:
   $$
   S_{ABD} = \frac{1}{2} \left| 0(3 - 0) + 1(0 - 6) + 0(6 - 3) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 - 6 \right| = 3
   $$

2. Diện tích $\triangle ACD$:

$$
   S_{ACD} = \frac{1}{2} \left| 1(0 - 0) + 4(3 - 0) + 0(0 - 3) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 12 \right| = 6
   $$

Tổng diện tích

Tổng diện tích của đa giác là:
$$
S = S_{ABD} + S_{ACD} = 3 + 6 = 9
$$

Vậy, diện tích của miền đa giác là 9 đơn vị diện tích.