Câu 1:
Để tìm phương trình của mặt cầu, ta cần biết tâm và bán kính của mặt cầu. Trong bài toán này, tâm của mặt cầu là và bán kính là .
Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm và bán kính là:
Áp dụng công thức trên với , , , và , ta có:
Tính ta được . Do đó, phương trình của mặt cầu là:
Vậy đáp án đúng là .
Câu 2:
Để tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện , chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm nguyên hàm của :
Nguyên hàm của là:
Ta tách thành hai phần:
Tính từng phần:
Kết hợp lại:
trong đó là hằng số tích phân.
2. Thỏa mãn điều kiện ban đầu :
Thay vào :
Theo điều kiện :
Giải phương trình để tìm :
3. Viết nguyên hàm cuối cùng:
Thay vào :
Vậy, nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện là:
Đáp án đúng là:
Câu 3:
Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên trục , ta cần xác định tọa độ của điểm trên trục sao cho đường thẳng nối từ đến điểm đó vuông góc với trục .
Trục có phương là , nghĩa là mọi điểm trên trục có dạng .
Hình chiếu vuông góc của điểm lên trục là điểm sao cho vector vuông góc với vector chỉ phương của trục .
Tọa độ của vector là:
Để vuông góc với vector chỉ phương của trục là , ta có điều kiện:
Giải phương trình:
Vậy, hình chiếu vuông góc của điểm lên trục có tọa độ là .
Do đó, đáp án đúng là .
Câu 4:
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của tích phân. Đầu tiên, hãy xem xét các thông tin đã cho:
1.
2. Cần tìm giá trị của
Bước 1: Xét tích phân . Vì giới hạn trên và dưới của tích phân đều là , nên tích phân này bằng 0:
Tuy nhiên, đề bài lại nói rằng . Điều này có vẻ mâu thuẫn, nhưng có thể hiểu rằng đây là một lỗi trong đề bài hoặc có thể là một hằng số nào đó mà tích phân vẫn cho kết quả 4. Tuy nhiên, để tiếp tục giải quyết bài toán, chúng ta sẽ bỏ qua phần này và tập trung vào phần còn lại.
Bước 2: Chúng ta cần tìm giá trị của . Sử dụng tính chất của tích phân, chúng ta có thể tách tích phân thành hai phần:
Bước 3: Tính tích phân :
Bước 4: Kết hợp các kết quả:
Vì đề bài không cung cấp thêm thông tin về , chúng ta giả sử (dựa trên thông tin ).
Do đó:
Vậy đáp án là:
Câu 5:
Để giải bất phương trình , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Biểu thức có nghĩa khi .
- Do đó, .
2. Giải bất phương trình:
- Ta có .
- Chuyển đổi bất phương trình logarit sang dạng mũ:
- Điều này tương đương với:
- Giải bất phương trình trên:
3. Kết hợp điều kiện xác định và kết quả giải bất phương trình:
- Từ ĐKXĐ, ta có .
- Từ kết quả giải bất phương trình, ta có .
- Kết hợp hai điều kiện này, ta được:
4. Viết tập nghiệm:
- Tập nghiệm của bất phương trình là khoảng mở từ 3 đến 6, không bao gồm các điểm đầu và cuối.
- Vậy tập nghiệm là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu6:
Để tìm giá trị của trong cấp số cộng với và công sai , ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số cộng:
Trong đó:
- là số hạng thứ
- là số hạng đầu tiên
- là công sai
- là vị trí của số hạng
Áp dụng vào bài toán này để tìm :
Do đó, giá trị của là 2085.
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chọn đáp án từ các lựa chọn đã cho. Vì vậy, chúng ta kiểm tra lại các lựa chọn:
A. 2057
B. 2064
C. 2043
D. 2050
Rõ ràng, không có đáp án nào trong các lựa chọn trên đúng với giá trị tính toán . Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đáp án.
Vì vậy, đáp án chính xác dựa trên tính toán là .
Đáp án:
Câu 7:
Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng , ta cần tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng này sao cho nó vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Đường thẳng cần tìm có dạng tham số:
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng , nên vectơ chỉ phương của đường thẳng phải thỏa mãn:
Tức là:
Để tìm các giá trị , ta có thể chọn một trong các giá trị để đơn giản hóa. Chọn , ta có:
Chọn , ta có:
Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Phương trình tham số của đường thẳng là:
Tuy nhiên, để kiểm tra các phương án đã cho, ta cần so sánh với các phương trình tham số đã cho:
- Phương án A:
- Phương án B:
- Phương án C:
- Phương án D:
Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là:
Vậy đáp án đúng là phương án C.
Câu 8:
Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của logarit. Cụ thể, chúng ta sẽ sử dụng tính chất sau:
Trong bài toán này, chúng ta có:
Theo tính chất của logarit, chúng ta có thể tách thành:
Tiếp theo, chúng ta cần biết rằng là hằng số và có thể viết dưới dạng (vì ).
Do đó:
Vậy:
Cuối cùng, chúng ta có:
Như vậy, đáp án đúng là: