Câu 11:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
2. Giải phương trình để tìm các điểm tới hạn:
3. Kiểm tra các điểm tới hạn và các đầu mút của đoạn :
- Điểm tới hạn nằm trong đoạn .
- Điểm tới hạn không nằm trong đoạn .
4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm , , và :
5. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất:
-
-
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là , đạt được tại .
Đáp án: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đạt được tại điểm có hoành độ .
D = 0.
Câu 12:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Phân tích biểu thức dưới dấu căn:
Biểu thức này luôn dương vì và .
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
Vì , nên:
Do đó:
3. Thay vào hàm số ban đầu:
Vì , nên:
4. Kiểm tra giá trị nhỏ nhất:
Giá trị nhỏ nhất của là 5 khi . Điều này xảy ra khi:
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 5, đạt được khi .
Câu 13:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.
2. Tìm các giá trị nguyên của sao cho phương trình có nghiệm .
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình là một phương trình đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực . Vì vậy, ĐKXĐ của phương trình là:
Bước 2: Tìm các giá trị nguyên của sao cho phương trình có nghiệm
Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị của trong khoảng và tìm các giá trị tương ứng của .
Kiểm tra tại :
Kiểm tra tại :
Kiểm tra tại :
Kết luận
Các giá trị nguyên của sao cho phương trình có nghiệm là:
Do đó, có 3 giá trị nguyên của thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Đáp án: Có 3 giá trị nguyên của là .
Câu 14:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của tham số sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng .
Giả sử hàm số đã cho là . Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn , chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số .
2. Giải phương trình để tìm các điểm cực trị trong khoảng .
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và , cũng như tại các điểm cực trị tìm được.
4. So sánh các giá trị này để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
5. Đặt giá trị nhỏ nhất này bằng và giải phương trình để tìm giá trị của tham số .
Giả sử hàm số đã cho là (vì đây là dạng phổ biến của hàm số bậc hai).
1. Đạo hàm của hàm số:
2. Giải phương trình :
Điểm cực trị này nằm trong khoảng nếu .
3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và điểm cực trị:
4. So sánh các giá trị này để tìm giá trị nhỏ nhất:
5. Đặt giá trị nhỏ nhất này bằng và giải phương trình để tìm giá trị của tham số :
Từ đây, chúng ta có ba trường hợp để xét:
- Trường hợp 1:
- Trường hợp 2:
- Trường hợp 3:
Giải từng trường hợp để tìm giá trị của :
- Trường hợp 1:
- Trường hợp 2:
- Trường hợp 3:
Kết luận: Có vô số giá trị của tham số để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng .
Đáp án: Có vô số giá trị của tham số .
Câu 15:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số , ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Ta có:
Đặt và . Khi đó:
Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số:
Ta tính:
Do đó:
2. Giải phương trình :
3. Xác định giá trị lớn nhất:
Thay vào hàm số:
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi .
Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi .
Câu 16:
Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm vị trí của cây cầu EF sao cho tổng quãng đường từ thành phố A đến thành phố B qua cây cầu là ngắn nhất. Cụ thể, ta cần tối ưu hóa tổng quãng đường .
Bước 1: Mô tả bài toán
Giả sử là điểm trên bờ sông gần thành phố A và là điểm trên bờ sông gần thành phố B. Ta có:
- là khoảng cách từ A đến E.
- là khoảng cách từ F đến B.
- là độ dài cây cầu, không đổi.
Bước 2: Sử dụng phương pháp phản xạ
Để tối ưu hóa quãng đường, ta sử dụng phương pháp phản xạ. Phản xạ thành phố A qua sông để tạo thành điểm . Khi đó, quãng đường ngắn nhất từ đến qua cây cầu EF là đường thẳng từ đến cắt sông tại và .
Bước 3: Thiết lập phương trình
Giả sử là khoảng cách từ điểm đến thành phố B. Khi đó, khoảng cách từ đến thành phố A là (vì ).
Ta cần tối ưu hóa tổng quãng đường:
Bước 4: Tính đạo hàm và tìm giá trị tối ưu
Để tìm giá trị tối ưu của , ta tính đạo hàm của theo và giải phương trình .
1. Đạo hàm của :
2. Giải phương trình:
3. Giải phương trình trên để tìm .
Bước 5: Tính toán và kết luận
Sau khi giải phương trình, ta tìm được giá trị tối ưu. Giả sử giá trị này là .
Kết quả làm tròn đến km, ta có:
- Cây cầu nên được xây cách thành phố B khoảng km để tổng quãng đường từ A đến B là ngắn nhất.
Lưu ý
Do bài toán yêu cầu kết quả làm tròn đến km, sau khi tính toán cụ thể, ta sẽ làm tròn giá trị đến số nguyên gần nhất.