Trong hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) : x? + ý +z - 8x - 8y - 8z -46 = 0 và mặt phẳng
(P) : 3x + 2y + 4z - 5= 0. Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) : 3x + 2y +4 - 5 = 0 theo một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần

Question

Accepted Answer

Để tìm bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$

Phương trình mặt cầu $(S)$ được cho là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 8y - 8z - 46 = 0. $$

Ta đưa phương trình này về dạng chuẩn của phương trình mặt cầu:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2. $$

Để làm điều này, ta hoàn thành bình phương cho từng biến:

- Với $x$: $x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16$.
- Với $y$: $y^2 - 8y = (y - 4)^2 - 16$.
- Với $z$: $z^2 - 8z = (z - 4)^2 - 16$.

Thay vào phương trình mặt cầu, ta có:
$$
(x - 4)^2 - 16 + (y - 4)^2 - 16 + (z - 4)^2 - 16 - 46 = 0.
$$

Rút gọn, ta được:
$$
(x - 4)^2 + (y - 4)^2 + (z - 4)^2 = 94.
$$

Vậy, mặt cầu có tâm $I(4, 4, 4)$ và bán kính $R = \sqrt{94}$.

Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng $(P)$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$$ 3x + 2y + 4z - 5 = 0. $$

Khoảng cách từ điểm $I(4, 4, 4)$ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bằng công thức:
$$
d = \frac{|3 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 4 \cdot 4 - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2}}.
$$

Tính toán:
$$
d = \frac{|12 + 8 + 16 - 5|}{\sqrt{9 + 4 + 16}} = \frac{|31|}{\sqrt{29}} = \frac{31}{\sqrt{29}}.
$$

Bước 3: Tính bán kính của đường tròn giao tuyến

Bán kính $r$ của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu và mặt phẳng được tính bằng công thức:
$$
r = \sqrt{R^2 - d^2}.
$$

Thay các giá trị đã biết vào:
$$
r = \sqrt{94 - \left(\frac{31}{\sqrt{29}}\right)^2}.
$$

Tính toán:
$$
\left(\frac{31}{\sqrt{29}}\right)^2 = \frac{961}{29}.
$$

Do đó:
$$
r = \sqrt{94 - \frac{961}{29}} = \sqrt{\frac{2726 - 961}{29}} = \sqrt{\frac{1765}{29}}.
$$

Tính giá trị gần đúng:
$$
r \approx \sqrt{60.8621} \approx 7.8.
$$

Vậy, bán kính của đường tròn giao tuyến là khoảng $7.8$.

Trong hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) : x? + ý +z - 8x - 8y - 8z -46 = 0 và mặt phẳng (P) : 3x + 2y + 4z - 5= 0. Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) : 3x + 2y +4 - 5 = 0 theo một đường tròn có bán kính bằng ba...