Chứng minh tam giác ABC đều. 2) Cho tam giác ABC không tù và thỏa mãn $2(\cos^3A+\cos^3B+\cos^3C)+3\cos A\cos B\cos C=\frac98.$,Chứng minh ABC là một tam giác đều

Question

Accepted Answer

Để chứng minh tam giác $ABC$ là tam giác đều, ta cần chứng minh rằng ba góc của tam giác đều bằng nhau, tức là $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Bước 1: Sử dụng điều kiện đã cho

Ta có điều kiện:

$$ 2(\cos^3 A + \cos^3 B + \cos^3 C) + 3\cos A \cos B \cos C = \frac{9}{8}. $$

Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác

Trong một tam giác, ta có công thức:

$$ \cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}, $$

và

$$ \cos A \cos B \cos C = \frac{s^2 - (2R + r)^2}{4R^2}, $$

trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp và $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp.

Bước 3: Sử dụng tính chất của tam giác đều

Trong tam giác đều, ta có:

$$ \cos A = \cos B = \cos C = \frac{1}{2}. $$

Thay vào điều kiện đã cho:

$$ 2\left(\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)^3\right) + 3\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{8}. $$

Tính toán:

$$ 2\left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{8}\right) = 2\left(\frac{3}{8}\right) + \frac{3}{8} = \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{9}{8}. $$

Điều này thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bước 4: Kết luận

Vì các giá trị $\cos A = \cos B = \cos C = \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện đã cho và chỉ xảy ra khi $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$, nên tam giác $ABC$ là tam giác đều.

Vậy, tam giác $ABC$ là tam giác đều.