Số tiền lãi cao nhất thu được trong 1 ngày là? Câu 3: Một xưởng sản xuất bàn và ghế. Một chiếc bàn cần 1,5 giờ lắp ráp và 1 giờ hoàn thiện. Một chiếc ghế,cần 1 giờ lắp ráp và 2 giờ hoàn thiện. Bộ phận lắp ráp có 3 công nhân, bộ phận hoàn thiện có 4 công,nhân. Mỗi công nhân không làm việc quá 8 giờ một ngày và năng suất lao động của công nhân ở mỗi,bộ phận đều như nhau. Thị trường luôn tiêu thụ hết sản phẩm của xưởng và lượng ghế tiêu thụ không,vượt quá 3,5 lần số bàn. Một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng. Hỏi số,tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) cao nhất thu được trong một ngày là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Đặt $x$ là số chiếc bàn và $y$ là số chiếc ghế sản xuất trong một ngày.

Điều kiện:
- Số công nhân lắp ráp: $3 \times 8 = 24$ giờ/ngày.
- Số công nhân hoàn thiện: $4 \times 8 = 32$ giờ/ngày.
- Lượng ghế tiêu thụ không vượt quá 3,5 lần số bàn: $y \leq 3,5x$.

Ta có hệ bất phương trình:
$$
\begin{cases}
1,5x + y \leq 24 \
x + 2y \leq 32 \
y \leq 3,5x \
x \geq 0 \
y \geq 0
\end{cases}
$$

Hàm mục tiêu cần tối đa hóa là:
$$L = 600x + 450y$$

Bây giờ ta sẽ vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ và tìm điểm cực trị của hàm mục tiêu.

1. Vẽ đường thẳng $1,5x + y = 24$:
   - Khi $x = 0$, $y = 24$
   - Khi $y = 0$, $x = 16$

2. Vẽ đường thẳng $x + 2y = 32$:
   - Khi $x = 0$, $y = 16$
   - Khi $y = 0$, $x = 32$

3. Vẽ đường thẳng $y = 3,5x$:
   - Khi $x = 0$, $y = 0$
   - Khi $x = 10$, $y = 35$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần giao của các miền nằm dưới các đường thẳng này.

Các đỉnh của miền nghiệm là:
- Giao của $1,5x + y = 24$ và $x + 2y = 32$:
  $$
  \begin{cases}
  1,5x + y = 24 \
  x + 2y = 32
  \end{cases}
  $$
  Giải hệ phương trình:
  $$
  \begin{cases}
  1,5x + y = 24 \
  x + 2y = 32
  \end{cases}
  $$
  Nhân phương trình thứ nhất với 2:
  $$
  \begin{cases}
  3x + 2y = 48 \
  x + 2y = 32
  \end{cases}
  $$
  Trừ hai phương trình:
  $$
  2x = 16 \implies x = 8
  $$
  Thay $x = 8$ vào $x + 2y = 32$:
  $$
  8 + 2y = 32 \implies 2y = 24 \implies y = 12
  $$
  Đỉnh là $(8, 12)$.

- Giao của $1,5x + y = 24$ và $y = 3,5x$:
  $$
  \begin{cases}
  1,5x + y = 24 \
  y = 3,5x
  \end{cases}
  $$
  Thay $y = 3,5x$ vào $1,5x + y = 24$:
  $$
  1,5x + 3,5x = 24 \implies 5x = 24 \implies x = 4,8
  $$
  Thay $x = 4,8$ vào $y = 3,5x$:
  $$
  y = 3,5 \times 4,8 = 16,8
  $$
  Đỉnh là $(4,8, 16,8)$.

- Giao của $x + 2y = 32$ và $y = 3,5x$:
  $$
  \begin{cases}
  x + 2y = 32 \
  y = 3,5x
  \end{cases}
  $$
  Thay $y = 3,5x$ vào $x + 2y = 32$:
  $$
  x + 2(3,5x) = 32 \implies x + 7x = 32 \implies 8x = 32 \implies x = 4
  $$
  Thay $x = 4$ vào $y = 3,5x$:
  $$
  y = 3,5 \times 4 = 14
  $$
  Đỉnh là $(4, 14)$.

Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh:
- Tại $(8, 12)$:
  $$
  L = 600 \times 8 + 450 \times 12 = 4800 + 5400 = 10200 \text{ nghìn đồng} = 10,2 \text{ triệu đồng}
  $$

- Tại $(4,8, 16,8)$:
  $$
  L = 600 \times 4,8 + 450 \times 16,8 = 2880 + 7560 = 10440 \text{ nghìn đồng} = 10,44 \text{ triệu đồng}
  $$

- Tại $(4, 14)$:
  $$
  L = 600 \times 4 + 450 \times 14 = 2400 + 6300 = 8700 \text{ nghìn đồng} = 8,7 \text{ triệu đồng}
  $$

Giá trị lớn nhất của $L$ là 10,44 triệu đồng.

Đáp số: 10,44 triệu đồng.