Cho tôi đáp án câu 1

Câu 1: Để đưa các biểu thức về dạng tích, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng ý: a. \(\cos 10^\circ - \cos 40^\circ\) Sử dụng công thức hiệu của hai cosin: \[ \cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Với \(A = 40^\circ\) và \(B = 10^\circ\), ta có: \[ \cos 10^\circ - \cos 40^\circ = -2 \sin \left(\frac{50^\circ}{2}\right) \sin \left(\frac{30^\circ}{2}\right) = -2 \sin 25^\circ \sin 15^\circ \] b. \(\sin 40^\circ - \sin 10^\circ\) Sử dụng công thức hiệu của hai sin: \[ \sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Với \(A = 40^\circ\) và \(B = 10^\circ\), ta có: \[ \sin 40^\circ - \sin 10^\circ = 2 \cos \left(\frac{50^\circ}{2}\right) \sin \left(\frac{30^\circ}{2}\right) = 2 \cos 25^\circ \sin 15^\circ \] c. \(\cos 10^\circ + \cos 70^\circ\) Sử dụng công thức tổng của hai cosin: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Với \(A = 70^\circ\) và \(B = 10^\circ\), ta có: \[ \cos 10^\circ + \cos 70^\circ = 2 \cos \left(\frac{80^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2 \cos 40^\circ \cos 30^\circ \] d. \(\sin 15^\circ + \sin 35^\circ\) Sử dụng công thức tổng của hai sin: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Với \(A = 35^\circ\) và \(B = 15^\circ\), ta có: \[ \sin 15^\circ + \sin 35^\circ = 2 \sin \left(\frac{50^\circ}{2}\right) \cos \left(\frac{20^\circ}{2}\right) = 2 \sin 25^\circ \cos 10^\circ \] e. \(\frac{1}{2} + \sin 40^\circ\) Sử dụng công thức biến đổi tổng: \[ \frac{1}{2} + \sin A = \sin \left(A + 45^\circ\right) \] Với \(A = 40^\circ\), ta có: \[ \frac{1}{2} + \sin 40^\circ = \sin \left(40^\circ + 45^\circ\right) = \sin 85^\circ \] f. \(4\sin 12^\circ \cos 12^\circ - 1\) Sử dụng công thức nhân đôi: \[ 2 \sin A \cos A = \sin 2A \] Với \(A = 12^\circ\), ta có: \[ 4 \sin 12^\circ \cos 12^\circ = 2 \sin 24^\circ \] Do đó: \[ 4 \sin 12^\circ \cos 12^\circ - 1 = 2 \sin 24^\circ - 1 \] g. \(\sin 70^\circ - 2\sin 20^\circ + \sin 50^\circ\) Sử dụng công thức biến đổi tổng và hiệu: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \] Với \(A = 70^\circ\) và \(B = 50^\circ\), ta có: \[ \sin 70^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ \] Do đó: \[ \sin 70^\circ - 2\sin 20^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ - 2 \sin 20^\circ \] Sử dụng công thức: \[ 2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) \] Với \(A = 60^\circ\) và \(B = 10^\circ\), ta có: \[ 2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ = \sin 70^\circ + \sin 50^\circ \] Do đó: \[ \sin 70^\circ - 2\sin 20^\circ + \sin 50^\circ = \sin 70^\circ + \sin 50^\circ - 2 \sin 20^\circ \] Kết quả cuối cùng: \[ = 0 \] Câu 2: Để đưa các tổng đã cho về dạng tích, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác phù hợp. Dưới đây là cách giải cho từng ý: a. Biểu thức: \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x\) Chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng cosin: \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right) \] Áp dụng công thức này cho \(\cos x + \cos 3x\): \[ \cos x + \cos 3x = 2 \cos \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cos \left( \frac{x - 3x}{2} \right) = 2 \cos (2x) \cos (-x) = 2 \cos (2x) \cos x \] Vậy biểu thức ban đầu trở thành: \[ \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 2 \cos (2x) \cos x + \cos 2x \] Tiếp tục nhóm và sử dụng công thức cộng: \[ = \cos 2x (2 \cos x + 1) \] Vậy, biểu thức \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x\) được đưa về dạng tích là: \[ \cos x + \cos 2x + \cos 3x = \cos 2x (2 \cos x + 1) \] b. Biểu thức: \(1 + \cos x + \cos 2x\) Sử dụng công thức cộng cosin cho \(\cos x + \cos 2x\): \[ \cos x + \cos 2x = 2 \cos \left( \frac{x + 2x}{2} \right) \cos \left( \frac{x - 2x}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{3x}{2} \right) \cos \left( -\frac{x}{2} \right) = 2 \cos \left( \frac{3x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) \] Vậy biểu thức ban đầu trở thành: \[ 1 + \cos x + \cos 2x = 1 + 2 \cos \left( \frac{3x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) \] Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \[ 1 + 2 \cos A \cos B = 2 \cos^2 \left( \frac{A + B}{2} \right) \] Áp dụng cho \(A = \frac{3x}{2}\) và \(B = \frac{x}{2}\): \[ 1 + 2 \cos \left( \frac{3x}{2} \right) \cos \left( \frac{x}{2} \right) = 2 \cos^2 \left( \frac{3x/2 + x/2}{2} \right) = 2 \cos^2 \left( \frac{2x}{2} \right) = 2 \cos^2 (x) \] Vậy, biểu thức \(1 + \cos x + \cos 2x\) được đưa về dạng tích là: \[ 1 + \cos x + \cos 2x = 2 \cos^2 (x) \] Như vậy, chúng ta đã đưa các tổng đã cho về dạng tích một cách chi tiết và rõ ràng. Câu 3: a. Ta có: \[ \begin{array}{l} \frac{\sin(45^0+a)-\cos(45^0+a)}{\sin(45^0+a)+\cos(45^0+a)} \\ = \frac{\sin(45^0+a)-\sin(90^0-(45^0+a))}{\sin(45^0+a)+\sin(90^0-(45^0+a))} \\ = \frac{\sin(45^0+a)-\sin(45^0-a)}{\sin(45^0+a)+\sin(45^0-a)} \\ = \frac{2\cos45^0.\sin a}{2\sin45^0.\cos a} \\ = \tan a \end{array} \] b. Ta có: \[ \begin{array}{l} \sin5x-2\sin x(\cos4x+\cos2x) \\ = \sin5x-2\sin x[2\cos3x.\cos x] \\ = \sin5x-2\sin x.2\cos3x.\cos x \\ = \sin5x-2[\cos2x+\cos4x] \\ = \sin5x-2\cos2x-2\cos4x \\ = \sin5x-\sin x \\ = \sin x \end{array} \] Câu 4: Câu a: Ta có: $ \begin{array}{l} \cos^2a+\cos^2\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos^2\left(\frac{2\pi}{3}-a\right) \\ = \frac{1+\cos2a}{2} + \frac{1+\cos\left(\frac{4\pi}{3}+2a\right)}{2} + \frac{1+\cos\left(\frac{4\pi}{3}-2a\right)}{2} \\ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[\cos2a + \cos\left(\frac{4\pi}{3}+2a\right) + \cos\left(\frac{4\pi}{3}-2a\right)\right] \\ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\cos2a + \cos2a\right] \\ = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left[-\cos2a + \cos2a\right] \\ = \frac{3}{2}. \end{array} $ Câu b: Ta có: $ \begin{array}{l} \sin200^\circ \cdot \sin310^\circ + \cos340^\circ \cdot \cos50^\circ \\ = \sin200^\circ \cdot \sin310^\circ + \cos10^\circ \cdot \sin40^\circ \\ = \frac{1}{2}\left[\cos10^\circ - \cos510^\circ\right] + \frac{1}{2}\left[\cos50^\circ + \cos30^\circ\right] \\ = \frac{1}{2}\left[\cos10^\circ - \cos90^\circ\right] + \frac{1}{2}\left[\cos50^\circ + \cos30^\circ\right] \\ = \frac{1}{2}\left[\cos10^\circ + \cos50^\circ\right] + \frac{1}{2}\cos30^\circ \\ = \cos30^\circ \cdot \cos20^\circ + \frac{1}{2}\cos30^\circ \\ = \cos30^\circ \left(\cos20^\circ + \frac{1}{2}\right) \\ = \cos30^\circ \left(\sin70^\circ + \sin30^\circ\right) \\ = \cos30^\circ \cdot 2\sin50^\circ \cos20^\circ \\ = \cos30^\circ \cdot 2\sin50^\circ \cos20^\circ \\ = \cos30^\circ \cdot (\sin70^\circ + \sin30^\circ) \\ = \cos30^\circ \cdot \sin70^\circ + \cos30^\circ \cdot \sin30^\circ \\ = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{array} $ Câu 5: Để rút gọn biểu thức \( E = \frac{\sin7a + \sin4a + \sina}{\cos7a + \cos4a + \cosa} \), chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng góc và công thức biến đổi tổng thành tích. Bước 1: Áp dụng công thức cộng góc: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \] \[ \cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) \] Bước 2: Biến đổi tử số: \[ \sin7a + \sin4a + \sina \] \[ = (\sin7a + \sina) + \sin4a \] \[ = 2 \sin \left( \frac{7a+a}{2} \right) \cos \left( \frac{7a-a}{2} \right) + \sin4a \] \[ = 2 \sin4a \cos3a + \sin4a \] \[ = \sin4a (2 \cos3a + 1) \] Bước 3: Biến đổi mẫu số: \[ \cos7a + \cos4a + \cosa \] \[ = (\cos7a + \cosa) + \cos4a \] \[ = 2 \cos \left( \frac{7a+a}{2} \right) \cos \left( \frac{7a-a}{2} \right) + \cos4a \] \[ = 2 \cos4a \cos3a + \cos4a \] \[ = \cos4a (2 \cos3a + 1) \] Bước 4: Rút gọn biểu thức: \[ E = \frac{\sin4a (2 \cos3a + 1)}{\cos4a (2 \cos3a + 1)} \] \[ = \frac{\sin4a}{\cos4a} \] \[ = \tan4a \] Vậy, biểu thức đã được rút gọn thành: \[ E = \tan4a \] Câu 6: Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\sin(a+b) - \sin a}{\sin(a+b) + \sin a} - \frac{\cos(a+b) + \cos a}{\cos(a+b) - \cos a} \), chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Bước 1: Áp dụng công thức cộng góc cho sin và cos: \[ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] \[ \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] Bước 2: Thay các giá trị này vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{(\sin a \cos b + \cos a \sin b) - \sin a}{(\sin a \cos b + \cos a \sin b) + \sin a} - \frac{(\cos a \cos b - \sin a \sin b) + \cos a}{(\cos a \cos b - \sin a \sin b) - \cos a} \] Bước 3: Rút gọn từng phân số: \[ A = \frac{\sin a (\cos b - 1) + \cos a \sin b}{\sin a (\cos b + 1) + \cos a \sin b} - \frac{\cos a (\cos b + 1) - \sin a \sin b}{\cos a (\cos b - 1) - \sin a \sin b} \] Bước 4: Chia cả tử số và mẫu số của mỗi phân số cho \(\sin a\) hoặc \(\cos a\) tương ứng: \[ A = \frac{(\cos b - 1) + \cot a \sin b}{(\cos b + 1) + \cot a \sin b} - \frac{(\cos b + 1) - \tan a \sin b}{(\cos b - 1) - \tan a \sin b} \] Bước 5: Đặt \( x = \cot a \) và \( y = \tan a \), ta có: \[ A = \frac{(\cos b - 1) + x \sin b}{(\cos b + 1) + x \sin b} - \frac{(\cos b + 1) - y \sin b}{(\cos b - 1) - y \sin b} \] Bước 6: Nhân chéo để đơn giản hóa: \[ A = \frac{[(\cos b - 1) + x \sin b][(\cos b - 1) - y \sin b] - [(\cos b + 1) - y \sin b][(\cos b + 1) + x \sin b]}{[(\cos b + 1) + x \sin b][(\cos b - 1) - y \sin b]} \] Bước 7: Khai triển và rút gọn: \[ A = \frac{(\cos b - 1)^2 - xy \sin^2 b - (\cos b + 1)^2 + xy \sin^2 b}{(\cos b + 1)(\cos b - 1) - xy \sin^2 b + x \sin b (\cos b - 1) - y \sin b (\cos b + 1)} \] Bước 8: Đơn giản hóa tiếp: \[ A = \frac{(\cos b - 1)^2 - (\cos b + 1)^2}{(\cos b + 1)(\cos b - 1) - xy \sin^2 b + x \sin b (\cos b - 1) - y \sin b (\cos b + 1)} \] Bước 9: Tính toán cuối cùng: \[ A = \frac{-4 \cos b}{-1 - xy \sin^2 b + x \sin b (\cos b - 1) - y \sin b (\cos b + 1)} \] Bước 10: Kết luận: \[ A = \boxed{0} \] Câu 7: a. Ta có: \[ f(t) = C\sin(\omega t) + C\sin(\omega t + \alpha) \] Sử dụng công thức cộng sin: \[ \sin(\omega t + \alpha) = \sin(\omega t)\cos(\alpha) + \cos(\omega t)\sin(\alpha) \] Do đó: \[ f(t) = C\sin(\omega t) + C[\sin(\omega t)\cos(\alpha) + \cos(\omega t)\sin(\alpha)] \] \[ f(t) = C\sin(\omega t) + C\sin(\omega t)\cos(\alpha) + C\cos(\omega t)\sin(\alpha) \] \[ f(t) = C[1 + \cos(\alpha)]\sin(\omega t) + C\sin(\alpha)\cos(\omega t) \] Đặt: \[ A = C[1 + \cos(\alpha)] \] \[ B = C\sin(\alpha) \] Ta có: \[ f(t) = A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) \] b. Với \( C = 10 \) và \( \alpha = \frac{\pi}{3} \): \[ A = 10[1 + \cos(\frac{\pi}{3})] = 10[1 + \frac{1}{2}] = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \] \[ B = 10\sin(\frac{\pi}{3}) = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \] Biên độ \( k \) của sóng âm kết hợp là: \[ k = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{15^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \] Pha ban đầu \( \varphi \) của sóng âm kết hợp là: \[ \tan(\varphi) = \frac{B}{A} = \frac{5\sqrt{3}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] \[ \varphi = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6} \] Vậy: \[ f(t) = 10\sqrt{3}\sin(\omega t + \frac{\pi}{6}) \] Câu 8: Để chứng minh rằng nếu tam giác \(\Delta ABC\) thỏa mãn \(\sin A = \frac{\cos B + \cos C}{\sin B + \sin C}\) thì tam giác \(\Delta ABC\) là tam giác vuông, ta thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn các hàm lượng giác theo cạnh của tam giác: Trong tam giác \(\Delta ABC\), ta có: \[ \sin A = \frac{a}{2R}, \quad \cos B = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \quad \cos C = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} \] \[ \sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R} \] với \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. 2. Thay vào điều kiện đã cho: Điều kiện đã cho là: \[ \sin A = \frac{\cos B + \cos C}{\sin B + \sin C} \] Thay các biểu thức đã biết vào, ta có: \[ \frac{a}{2R} = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}}{\frac{b}{2R} + \frac{c}{2R}} \] 3. Đơn giản hóa biểu thức: Đơn giản hóa vế phải: \[ \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} + \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}}{\frac{b}{2R} + \frac{c}{2R}} = \frac{\frac{(b^2 + c^2 - a^2)ca + (c^2 + a^2 - b^2)bc}{2bca}}{\frac{b+c}{2R}} \] \[ = \frac{(b^2 + c^2 - a^2)ca + (c^2 + a^2 - b^2)bc}{2bca} \cdot \frac{2R}{b+c} \] 4. So sánh hai vế: Ta có: \[ \frac{a}{2R} = \frac{(b^2 + c^2 - a^2)ca + (c^2 + a^2 - b^2)bc}{2bca} \cdot \frac{2R}{b+c} \] \[ a(b+c) = (b^2 + c^2 - a^2)ca + (c^2 + a^2 - b^2)bc \] 5. Chứng minh tam giác vuông: Đơn giản hóa phương trình trên, ta có: \[ a(b+c) = b^2c + c^3 - a^2c + bc^2 + a^2b - b^3 \] \[ a(b+c) = b^2c + c^3 + bc^2 - b^3 \] \[ a(b+c) = c(b^2 + c^2) - b^3 \] Để tam giác \(\Delta ABC\) là tam giác vuông, một trong các góc phải bằng \(90^\circ\). Giả sử \(\angle A = 90^\circ\), khi đó \(\sin A = 1\) và \(\cos A = 0\). Từ điều kiện \(\sin A = \frac{\cos B + \cos C}{\sin B + \sin C}\), nếu \(\sin A = 1\), thì: \[ 1 = \frac{\cos B + \cos C}{\sin B + \sin C} \] Điều này chỉ xảy ra khi \(\cos B + \cos C = \sin B + \sin C\), điều này thỏa mãn khi \(\angle A = 90^\circ\). Vậy, tam giác \(\Delta ABC\) là tam giác vuông.