Giải giúp tôi Câu 1: Một thùng chứa hàng bằng gỗ có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $10~m^3.$,Chiều dài của đáy gấp đôi chiều rộng, biết chi phí vật liệu làm đáy thùng là 120000 đồng cho mỗi mét,vuông, chi phí vật liệu làm mặt bên của thùng là 80000 đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chiều cao của thùng,đó bằng bao nhiêu mét để chi phí mua vật liệu là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).,Câu 2: Cho ba Parabol $(P_1):~y=x^2,~(P_2):~y=2x^2,~(P_3):~y=kx^2$ với $k2.$ Gọi P là điểm bất kỳ thuộc,parabol $(P_2)$ và $S_1,S_2$ là diện tích các miền phẳng $(H_1),(H_2)$ (các miền được gạch chéo trong hình vẽ).,,Nếu $S_1=S_2$ thì giá trị của $k=\frac ab$ với $a,b\in\mathbb{N}$ và $\frac ab$ là phân số tối giản. Tính $a+b.$,Trang 3/4 - Mã đề 1101

Question

Giải giúp tôi Câu 1: Một thùng chứa hàng bằng gỗ có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy có thể tích $10~m^3.$,Chiều dài của đáy gấp đôi chiều rộng, biết chi phí vật liệu làm đáy thùng là 120000 đồng cho mỗi mét,vuông, chi phí vật liệu làm mặt bên của thùng là 80000 đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chiều cao của thùng,đó bằng bao nhiêu mét để chi phí mua vật liệu là nhỏ nhất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).,Câu 2: Cho ba Parabol $(P_1):~y=x^2,~(P_2):~y=2x^2,~(P_3):~y=kx^2$ với $k>2.$ Gọi P là điểm bất kỳ thuộc,parabol $(P_2)$ và $S_1,S_2$ là diện tích các miền phẳng $(H_1),(H_2)$ (các miền được gạch chéo trong hình vẽ).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/c990af9a68a146baa81a810126ed4b06.jpg />,Nếu $S_1=S_2$ thì giá trị của $k=\frac ab$ với $a,b\in\mathbb{N}$ và $\frac ab$ là phân số tối giản. Tính $a+b.$,Trang 3/4 - Mã đề 1101

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Đặt các biến và viết biểu thức cho thể tích và diện tích.
2. Viết biểu thức tổng chi phí và tối ưu hóa nó.
3. Tìm giá trị của chiều cao sao cho chi phí là nhỏ nhất.

Bước 1: Đặt các biến và viết biểu thức cho thể tích và diện tích.

Gọi chiều rộng của đáy thùng là $ x $ (m). 
Chiều dài của đáy thùng là $ 2x $ (m).
Chiều cao của thùng là $ h $ (m).

Thể tích của thùng là:
$$ V = x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h $$
Theo đề bài, thể tích của thùng là 10 m³:
$$ 2x^2h = 10 $$
$$ x^2h = 5 $$
$$ h = \frac{5}{x^2} $$

Bước 2: Viết biểu thức tổng chi phí và tối ưu hóa nó.

Diện tích đáy thùng là:
$$ S_{\text{đáy}} = x \cdot 2x = 2x^2 $$

Diện tích các mặt bên của thùng là:
$$ S_{\text{mặt bên}} = 2(xh + 2xh) = 2(3xh) = 6xh $$

Chi phí vật liệu làm đáy thùng là:
$$ C_{\text{đáy}} = 120000 \cdot 2x^2 = 240000x^2 $$

Chi phí vật liệu làm mặt bên của thùng là:
$$ C_{\text{mặt bên}} = 80000 \cdot 6xh = 480000xh $$

Tổng chi phí là:
$$ C = 240000x^2 + 480000xh $$

Thay $ h = \frac{5}{x^2} $ vào biểu thức tổng chi phí:
$$ C = 240000x^2 + 480000x \left(\frac{5}{x^2}\right) $$
$$ C = 240000x^2 + \frac{2400000}{x} $$

Bước 3: Tìm giá trị của chiều cao sao cho chi phí là nhỏ nhất.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ C $, chúng ta sẽ lấy đạo hàm của $ C $ theo $ x $ và đặt bằng 0:
$$ C' = 480000x - \frac{2400000}{x^2} $$
$$ 480000x - \frac{2400000}{x^2} = 0 $$
$$ 480000x^3 = 2400000 $$
$$ x^3 = 5 $$
$$ x = \sqrt[3]{5} \approx 1.71 $$

Thay $ x \approx 1.71 $ vào biểu thức $ h = \frac{5}{x^2} $:
$$ h = \frac{5}{(1.71)^2} \approx \frac{5}{2.9241} \approx 1.71 $$

Vậy chiều cao của thùng là khoảng 1.71 mét.

Kết quả làm tròn đến hàng phần chục:
$$ h \approx 1.7 \text{ mét} $$

Đáp số: Chiều cao của thùng là 1.7 mét.

Câu 2:
Để giải bài toán này, ta cần tính diện tích của hai miền phẳng $(H_1)$ và $(H_2)$ và thiết lập phương trình $S_1 = S_2$.

Bước 1: Xác định tọa độ điểm $P$

Điểm $P$ thuộc parabol $(P_2): y = 2x^2$, giả sử có tọa độ $P(a, 2a^2)$.

Bước 2: Tính diện tích $S_1$

Diện tích $S_1$ là diện tích giữa hai parabol $(P_1): y = x^2$ và $(P_2): y = 2x^2$ từ $x = 0$ đến $x = a$.

$$ S_1 = \int_0^a (2x^2 - x^2) \, dx = \int_0^a x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^a = \frac{a^3}{3} $$

Bước 3: Tính diện tích $S_2$

Diện tích $S_2$ là diện tích giữa hai parabol $(P_2): y = 2x^2$ và $(P_3): y = kx^2$ từ $x = 0$ đến $x = a$.

$$ S_2 = \int_0^a (kx^2 - 2x^2) \, dx = \int_0^a (k-2)x^2 \, dx = (k-2) \int_0^a x^2 \, dx = (k-2) \cdot \frac{a^3}{3} $$

Bước 4: Thiết lập phương trình $S_1 = S_2$

Theo đề bài, $S_1 = S_2$, do đó:

$$ \frac{a^3}{3} = (k-2) \cdot \frac{a^3}{3} $$

Giả sử $a \neq 0$, ta có:

$$ 1 = k - 2 $$

Suy ra:

$$ k = 3 $$

Bước 5: Tính $a + b$

Với $k = \frac{3}{1}$, ta có $a = 3$ và $b = 1$. Do đó:

$$ a + b = 3 + 1 = 4 $$

Vậy giá trị của $a + b$ là $4$.