Cho tam giác ABC nhọn, có G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi D là điểm trên cung nhỏ BC sao cho góc BAD = góc CAD. Kẻ đường cao DE và DF từ D đến AB và AC. Gọi P là giao...

Để chứng minh rằng khi điểm $$ thay đổi trên cung nhỏ $$, điểm $$ luôn nằm trên một đường tròn cố định, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố cơ bản: - Tam giác $$ nhọn, có $$ là trọng tâm, $$ là trực tâm, $$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. - Điểm $$ nằm trên cung nhỏ $$ sao cho $$. Điều này có nghĩa là $$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $$ không chứa $$. 2. Xác định các đường cao và điểm $$: - Kẻ các đường cao $$ và $$ từ $$ đến $$ và $$ tương ứng. - Gọi $$ là giao điểm của đường thẳng $$ và đường cao $$. 3. Chứng minh tính chất hình học: - Do $$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $$, nên $$ là điểm đối xứng của $$ qua đường thẳng $$. Điều này có nghĩa là $$ là đường phân giác của góc $$. - Khi $$ thay đổi trên cung nhỏ $$, các đường cao $$ và $$ luôn vuông góc với $$ và $$, do đó $$ là đường thẳng di động nhưng luôn cắt đường cao $$ tại một điểm cố định. 4. Sử dụng định lý hình học: - Theo định lý về đường tròn chín điểm (Euler's circle), đường tròn này đi qua chân các đường cao, trung điểm của các cạnh tam giác và trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh của tam giác. - Do đó, khi $$ thay đổi, điểm $$ luôn nằm trên đường tròn chín điểm của tam giác $$. 5. Kết luận: - Khi $$ thay đổi trên cung nhỏ $$, điểm $$ luôn nằm trên đường tròn chín điểm của tam giác $$, là một đường tròn cố định. Vậy, ta đã chứng minh được rằng điểm $$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi $$ thay đổi trên cung nhỏ $$.