Giúp mình với! $b)~\cos^220^0+\cos^230^0+\sin^240^0+\sin^250^0+\sin^260^0+\sin^270^0$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức:

$$ \cos^2 20^\circ + \cos^2 30^\circ + \sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 70^\circ. $$

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản:

1. $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.

2. $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$.

3. $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$.

Bây giờ, ta sẽ tính từng phần của biểu thức:

- $\cos^2 20^\circ$ và $\sin^2 70^\circ$:

Ta có $\sin 70^\circ = \cos 20^\circ$, do đó:

$\cos^2 20^\circ + \sin^2 70^\circ = \cos^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ = 2\cos^2 20^\circ$.

- $\cos^2 30^\circ$ và $\sin^2 60^\circ$:

Ta có $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ$, do đó:

$\cos^2 30^\circ + \sin^2 60^\circ = \cos^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 2\cos^2 30^\circ$.

- $\sin^2 40^\circ$ và $\sin^2 50^\circ$:

Ta có $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$, do đó:

$\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ = \sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ = 1$.

Bây giờ, ta thay các giá trị đã tính vào biểu thức ban đầu:

$$ 2\cos^2 20^\circ + 2\cos^2 30^\circ + 1. $$

Sử dụng công thức $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$, ta có:

- $\cos^2 20^\circ = \frac{1 + \cos 40^\circ}{2}$.

- $\cos^2 30^\circ = \frac{1 + \cos 60^\circ}{2} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4}$.

Thay vào biểu thức:

$$ 2\left(\frac{1 + \cos 40^\circ}{2}\right) + 2\left(\frac{3}{4}\right) + 1. $$

$$ = (1 + \cos 40^\circ) + \frac{3}{2} + 1. $$

$$ = 2 + \cos 40^\circ + \frac{3}{2}. $$

$$ = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} + \cos 40^\circ. $$

$$ = \frac{7}{2} + \cos 40^\circ. $$

Tuy nhiên, do $\cos 40^\circ$ không thể tính chính xác bằng các giá trị đơn giản, ta chỉ cần biết rằng giá trị của biểu thức là một số cụ thể khi tính toán chính xác. Nhưng trong trường hợp này, ta đã sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức.

Vậy, giá trị của biểu thức là $\frac{7}{2} + \cos 40^\circ$.