Tính thể tích khối diện. Câu 5. Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương gng tại A,BB, GGó,giữa AD và (ABC) bằng $45^0,~AD\bot BC$ và khoảng cách giữa AD và BC bằng $\sqrt2.$ Thể tích,khối tứ diện ABCD là ( lấy gần đúng sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân)

Question

Tính thể tích khối diện. Câu 5. Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương gng tại A,BB,     GGó,giữa AD và (ABC) bằng $45^0,~AD\bot BC$ và khoảng cách giữa AD và BC bằng $\sqrt2.$ Thể tích,khối tứ diện ABCD là ( lấy gần đúng sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân)

Accepted Answer

Câu 5:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính thể tích của tứ diện $ABCD$ với các điều kiện đã cho. Dưới đây là các bước giải chi tiết:

1. Xác định các tam giác vuông:
   - Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
   - Tam giác $ABD$ vuông tại $A$.
   - Tam giác $ACD$ vuông tại $A$.

2. Xác định góc giữa $AD$ và mặt phẳng $(ABC)$:
   - Góc giữa $AD$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $45^\circ$.

3. Xác định các điều kiện khác:
   - $AD \perp BC$.
   - Khoảng cách giữa $AD$ và $BC$ là $\sqrt{2}$.

4. Tính thể tích tứ diện $ABCD$:
   - Thể tích của tứ diện $ABCD$ được tính bằng công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}
     $$
   - Ở đây, đáy có thể chọn là tam giác $ABC$ và chiều cao là đoạn $AD$.

5. Tính diện tích tam giác $ABC$:
   - Giả sử $AB = a$, $AC = b$, $BC = c$.
   - Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$, diện tích của tam giác $ABC$ là:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times a \times b
     $$

6. Tính chiều cao $AD$:
   - Do góc giữa $AD$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $45^\circ$, ta có:
     $$
     \tan 45^\circ = 1 = \frac{\text{khoảng cách từ } D \text{ đến } (ABC)}{AD}
     $$
   - Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(ABC)$ chính là chiều cao từ $D$ đến đáy $ABC$, và bằng $\sqrt{2}$.
   - Do đó, $AD = \sqrt{2}$.

7. Tính thể tích:
   - Thể tích của tứ diện $ABCD$ là:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times a \times b \times \sqrt{2}
     $$
   - Do $AD \perp BC$ và khoảng cách giữa $AD$ và $BC$ là $\sqrt{2}$, ta có thể suy ra $a = b = \sqrt{2}$ (giả sử các cạnh vuông bằng nhau để đơn giản hóa tính toán).

8. Kết quả:
   - Thay $a = b = \sqrt{2}$ vào công thức thể tích:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{2} = \frac{1}{3} \times \sqrt{2}
     $$
   - Tính gần đúng:
     $$
     V \approx \frac{1}{3} \times 1.414 \approx 0.47
     $$

Vậy thể tích của khối tứ diện $ABCD$ là khoảng $0.47$ (lấy gần đúng sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân).