Câu $\rm 10$.

Câu 10: Để tìm số hạng chứa \( x^2 \) trong khai triển của biểu thức \( P(x) = (3 + x - x^2)^n \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \( n \) Trước tiên, chúng ta cần tìm giá trị của \( n \) từ phương trình: \[ C_n^2 + \frac{A_n^3}{n} = 70 \] Ta biết rằng: \[ C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} \] \[ A_n^3 = n(n-1)(n-2) \] Thay vào phương trình: \[ \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{n} = 70 \] Đơn giản hóa: \[ \frac{n(n-1)}{2} + (n-1)(n-2) = 70 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ n(n-1) + 2(n-1)(n-2) = 140 \] Phân phối và đơn giản hóa: \[ n(n-1) + 2(n^2 - 3n + 2) = 140 \] \[ n^2 - n + 2n^2 - 6n + 4 = 140 \] \[ 3n^2 - 7n + 4 = 140 \] Chuyển 140 sang vế trái: \[ 3n^2 - 7n + 4 - 140 = 0 \] \[ 3n^2 - 7n - 136 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] với \( a = 3 \), \( b = -7 \), và \( c = -136 \). Tính delta: \[ \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-136) \] \[ \Delta = 49 + 1632 \] \[ \Delta = 1681 \] Tìm nghiệm: \[ n = \frac{7 \pm \sqrt{1681}}{6} \] \[ n = \frac{7 \pm 41}{6} \] Do đó: \[ n = \frac{48}{6} = 8 \quad \text{hoặc} \quad n = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3} \] Vì \( n \) phải là số nguyên dương, nên: \[ n = 8 \] Bước 2: Tìm số hạng chứa \( x^2 \) trong khai triển của \( P(x) = (3 + x - x^2)^8 \) Sử dụng công thức nhị thức Newton: \[ (a + b + c)^n = \sum_{i+j+k=n} \binom{n}{i,j,k} a^i b^j c^k \] Trong trường hợp này: \[ a = 3, \quad b = x, \quad c = -x^2 \] Chúng ta cần tìm các tổ hợp \( i, j, k \) sao cho: \[ i + j + k = 8 \] và tổng số mũ của \( x \) bằng 2: \[ j + 2k = 2 \] Giải hệ phương trình: \[ j + 2k = 2 \] \[ i + j + k = 8 \] Từ \( j + 2k = 2 \): \[ j = 2 - 2k \] Thay vào \( i + j + k = 8 \): \[ i + (2 - 2k) + k = 8 \] \[ i + 2 - k = 8 \] \[ i = 6 + k \] Vì \( i, j, k \) phải là số nguyên không âm, ta thử các giá trị của \( k \): - Nếu \( k = 0 \): \[ j = 2 \] \[ i = 6 \] - Nếu \( k = 1 \): \[ j = 0 \] \[ i = 7 \] - Nếu \( k \geq 2 \): \[ j \] sẽ âm, không hợp lệ. Vậy chỉ có hai trường hợp hợp lệ: 1. \( i = 6, j = 2, k = 0 \) 2. \( i = 7, j = 0, k = 1 \) Tính hệ số cho mỗi trường hợp: 1. \( \binom{8}{6,2,0} 3^6 x^2 (-x^2)^0 \) \[ \binom{8}{6,2,0} = \frac{8!}{6!2!0!} = 28 \] \[ 28 \cdot 3^6 \cdot x^2 = 28 \cdot 729 \cdot x^2 = 20412x^2 \] 2. \( \binom{8}{7,0,1} 3^7 x^0 (-x^2)^1 \) \[ \binom{8}{7,0,1} = \frac{8!}{7!0!1!} = 8 \] \[ 8 \cdot 3^7 \cdot (-x^2) = 8 \cdot 2187 \cdot (-x^2) = -17496x^2 \] Tổng hợp các hệ số: \[ 20412x^2 - 17496x^2 = 2916x^2 \] Vậy số hạng chứa \( x^2 \) trong khai triển của \( P(x) = (3 + x - x^2)^8 \) là: \[ 2916x^2 \]