Trong không gian, cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, góc BAC = 90 độ, SA vuông góc mặt đáy và SA = a√2. a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC). b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng S...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta cần tìm góc giữa SC và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm C. Trong trường hợp này, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại C chính là đường thẳng SA, vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Do đó, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SC và SA. Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC là cạnh bên của hình chóp, góc giữa SC và SA là góc vuông. Vậy, góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 90 độ. b) Tính độ dài đoạn HC H là hình chiếu vuông góc của C lên SA, do đó HC là đoạn vuông góc từ C đến SA. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên HC cũng là đường cao từ C đến SA trong tam giác vuông SAC. Trong tam giác SAC, ta có: - SA = $$ - AC = a Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông SAC: $$ Vì H là hình chiếu vuông góc của C lên SA, nên HC là đường cao từ C đến SA trong tam giác vuông SAC. Do đó, HC có thể được tính bằng cách sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông SAC: $$ Do đó, độ dài HC là: $$ c) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và SC Để tìm góc giữa hai đường thẳng AB và SC, ta cần sử dụng tích vô hướng. Trước tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hệ trục tọa độ. Giả sử: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(0, a, 0) - S(0, 0, $$) Vector $$ và vector $$. Tích vô hướng của $$ và $$ là: $$ Vì tích vô hướng bằng 0, góc giữa hai đường thẳng AB và SC là 90 độ. d) Viết phương trình mặt phẳng (SBC) Để viết phương trình mặt phẳng (SBC), ta cần tìm một vector pháp tuyến của mặt phẳng này. Vector pháp tuyến có thể được tìm bằng tích có hướng của hai vector nằm trong mặt phẳng. Vector $$ và vector $$. Tích có hướng $$ là: $$ $$ Phương trình mặt phẳng (SBC) có dạng: $$ Chia cả hai vế cho $$, ta được: $$ Đây là phương trình của mặt phẳng (SBC) trong hệ trục tọa độ.