Câu 2 nhé.

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng \( AM \) vuông góc với mặt phẳng \( (SBC) \). Bước 1: Xác định vị trí các điểm và các đoạn thẳng. - Đáy \( ABCD \) là hình vuông cạnh \( a \), do đó \( AB = BC = CD = DA = a \). - Tam giác \( SAB \) là tam giác đều, do đó \( SA = SB = AB = a \). - Hình chiếu vuông góc của \( S \) trên mặt phẳng \( (ABCD) \) là điểm \( H \), trung điểm của \( AB \). Vậy \( AH = \frac{a}{2} \). Bước 2: Xác định trung điểm \( M \) của \( SB \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( SB \), nên \( SM = MB = \frac{a}{2} \). Bước 3: Chứng minh \( AM \) vuông góc với mặt phẳng \( (SBC) \). - Để chứng minh \( AM \) vuông góc với mặt phẳng \( (SBC) \), ta cần chứng minh \( AM \) vuông góc với hai đường thẳng không song song nằm trong mặt phẳng \( (SBC) \). - Xét tam giác \( SAB \) đều, \( H \) là trung điểm của \( AB \), do đó \( SH \) vuông góc với \( AB \). - Trong tam giác \( SAB \), \( M \) là trung điểm của \( SB \), do đó \( AM \) là đường trung tuyến. - Vì \( SH \) vuông góc với \( AB \) và \( AM \) là đường trung tuyến của tam giác đều \( SAB \), nên \( AM \) cũng vuông góc với \( SH \). - Do đó, \( AM \) vuông góc với mặt phẳng \( (SBC) \) vì \( AM \) vuông góc với cả \( SB \) và \( SH \). b) Tính độ dài đoạn thẳng \( AN \) theo \( a \). Bước 1: Xác định đường thẳng \( d \) qua \( B \) và vuông góc với \( SC \). - Đường thẳng \( SC \) nằm trong mặt phẳng \( (SBC) \). Bước 2: Xác định điểm \( N \) là giao điểm của \( d \) và \( CD \). - Vì \( d \) vuông góc với \( SC \) và đi qua \( B \), nên \( d \) là đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (ABCD) \) và vuông góc với \( SC \). - Do \( d \) cắt \( CD \) tại \( N \), ta cần tìm tọa độ của \( N \). Bước 3: Tính độ dài \( AN \). - Trong mặt phẳng \( (ABCD) \), \( B \) có tọa độ \( (0, a) \) và \( C \) có tọa độ \( (a, a) \). - Đường thẳng \( SC \) có phương trình \( y = a \). - Đường thẳng \( d \) qua \( B(0, a) \) và vuông góc với \( SC \) có phương trình \( x = 0 \). - Giao điểm \( N \) của \( d \) và \( CD \) có tọa độ \( (0, 0) \). - Đoạn thẳng \( AN \) có độ dài \( AN = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - a)^2} = a \). Vậy độ dài đoạn thẳng \( AN \) là \( a \).