Giải bất phương trình. Giải bất phương trình $\log_2x+\log_2(x+1)

Question

Giải bất phương trình. Giải bất phương trình $\log_2x+\log_2(x+1)<1$

Accepted Answer

Để giải bất phương trình $\log_2 x + \log_2 (x+1) < 1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - $x > 0$ vì $\log_2 x$ chỉ xác định khi $x > 0$. - $x + 1 > 0$ suy ra $x > -1$. Tuy nhiên, do $x > 0$ đã bao gồm điều kiện này, nên ĐKXĐ là $x > 0$. 2. Biến đổi bất phương trình: - Sử dụng tính chất của logarit: $\log_2 x + \log_2 (x+1) = \log_2 [x(x+1)]$. - Bất phương trình trở thành: $\log_2 [x(x+1)] < 1$. 3. Giải bất phương trình logarit: - Chuyển bất phương trình về dạng mũ: $x(x+1) < 2^1$. - Điều này tương đương với: $x(x+1) < 2$. 4. Giải bất phương trình bậc hai: - Viết lại bất phương trình: $x^2 + x - 2 < 0$. - Tìm nghiệm của phương trình $x^2 + x - 2 = 0$: $$ x^2 + x - 2 = 0 \implies (x-1)(x+2) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -2. $$ - Xét dấu của $x^2 + x - 2$ trên khoảng $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, và $(1, \infty)$: - Trên khoảng $(-\infty, -2)$, $x^2 + x - 2 > 0$. - Trên khoảng $(-2, 1)$, $x^2 + x - 2 < 0$. - Trên khoảng $(1, \infty)$, $x^2 + x - 2 > 0$. 5. Kết hợp với điều kiện xác định: - Vì $x > 0$, nên chỉ xét khoảng $(0, 1)$. Vậy nghiệm của bất phương trình $\log_2 x + \log_2 (x+1) < 1$ là $0 < x < 1$. Đáp số: $0 < x < 1$.