Trắc nghiệm đúng sai.

Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần a, b, c, d. a) Chứng minh $NA = NB = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng a, do đó tam giác ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, do đó $AM = MB = \frac{a}{2}$. Gọi N là trung điểm của CD, do đó $CN = ND = \frac{a}{2}$. Xét tam giác đều ABC, ta có: - Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỷ lệ 2:1. Do đó, $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{a}{3}$. - Vì N là trung điểm của CD, nên $NA = NB$. - Xét tam giác vuông AGN (vì G là trọng tâm nên GN vuông góc với mặt phẳng (ABC)), ta có: \[ AN^2 = AG^2 + GN^2 = \left(\frac{a}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{a^2}{9} + \frac{3a^2}{9} = \frac{4a^2}{9} \] \[ AN = \sqrt{\frac{4a^2}{9}} = \frac{2a}{3} \] Vậy $NA = NB = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. b) Chứng minh $MN = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của CD, nên MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD. Do đó, $MN = \frac{1}{2} \times AC$. Trong tam giác đều ABC, $AC = a$. Do đó: \[ MN = \frac{1}{2} \times a = \frac{a}{2} \] c) Chứng minh $CD \bot NP$. Gọi P là trung điểm của AM. Do đó, $AP = PM = \frac{a}{4}$. Xét tam giác vuông CDP (vì CD là cạnh của tứ diện đều và P là trung điểm của AM), ta có: - $CP = \frac{a}{2}$ (vì P là trung điểm của AM). - $DP = \frac{a}{2}$ (vì P là trung điểm của AM). Do đó, $CD \bot NP$. d) Chứng minh góc giữa đường thẳng MN và BC bằng $45^\circ$. Xét tam giác vuông MNB (vì MN là đường trung bình và BC là cạnh của tứ diện đều), ta có: - $MN = \frac{a}{2}$. - $NB = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Góc giữa MN và BC là góc $\angle MNB$. Ta có: \[ \tan \angle MNB = \frac{MN}{NB} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó, $\angle MNB = 45^\circ$. Vậy góc giữa đường thẳng MN và BC bằng $45^\circ$.