Mọi người giúp em giải với

Câu 1: Câu hỏi: Tính đạo hàm của các hàm số sau 1. $y=x^4-2x^3+3$ $6x^3+4x^3$ 2. $y=x^3-2x^3+5x-2$ $40-8x+5$ 3. $y=2x^3+x^2-3x+5$ $6x^2-2x-3$ 4. $y=\frac13x^3-x^2+2x+1:x^4-x^3+3$ 5. $y=x^2-4\sqrt x+3$ 6. $y=x^2-3x^2+2x+1-3x^2-6x^2$ 7. $y=\frac13x^3-x^2+2x+1:x^2-1x+1$ 8. $y=x^3+2x^2+2\sqrt x-x^2-8x+\frac14$ Lời giải chi tiết: 1. $y=x^4-2x^3+3$ $6x^3+4x^3$ Hàm số này có vẻ bị viết sai hoặc thiếu thông tin. Tuy nhiên, nếu chúng ta coi nó là $y = x^4 - 2x^3 + 3$, thì đạo hàm của nó sẽ là: \[ y' = 4x^3 - 6x^2 \] 2. $y=x^3-2x^3+5x-2$ $40-8x+5$ Hàm số này cũng có vẻ bị viết sai hoặc thiếu thông tin. Nếu chúng ta coi nó là $y = x^3 - 2x^3 + 5x - 2$, thì đạo hàm của nó sẽ là: \[ y' = 3x^2 - 6x^2 + 5 = -3x^2 + 5 \] 3. $y=2x^3+x^2-3x+5$ $6x^2-2x-3$ Hàm số này có vẻ bị viết sai hoặc thiếu thông tin. Nếu chúng ta coi nó là $y = 2x^3 + x^2 - 3x + 5$, thì đạo hàm của nó sẽ là: \[ y' = 6x^2 + 2x - 3 \] 4. $y=\frac13x^3-x^2+2x+1:x^4-x^3+3$ Hàm số này có vẻ bị viết sai hoặc thiếu thông tin. Nếu chúng ta coi nó là $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x + 1$, thì đạo hàm của nó sẽ là: \[ y' = x^2 - 2x + 2 \] 5. $y=x^2-4\sqrt x+3$ Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 2x - \frac{4}{2\sqrt{x}} = 2x - \frac{2}{\sqrt{x}} \] 6. $y=x^2-3x^2+2x+1-3x^2-6x^2$ Hàm số này có vẻ bị viết sai hoặc thiếu thông tin. Nếu chúng ta coi nó là $y = x^2 - 3x^2 + 2x + 1 - 3x^2 - 6x^2$, thì đạo hàm của nó sẽ là: \[ y' = 2x - 6x + 2 - 6x - 12x = -22x + 2 \] 7. $y=\frac13x^3-x^2+2x+1:x^2-1x+1$ Hàm số này có vẻ bị viết sai hoặc thiếu thông tin. Nếu chúng ta coi nó là $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x + 1$, thì đạo hàm của nó sẽ là: \[ y' = x^2 - 2x + 2 \] 8. $y=x^3+2x^2+2\sqrt x-x^2-8x+\frac14$ Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 3x^2 + 4x + \frac{2}{2\sqrt{x}} - 2x - 8 = 3x^2 + 2x + \frac{1}{\sqrt{x}} - 8 \] Câu 2: 9. Ta có: \[ y = x^2 + 5\sin x + 3\cos x \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(5\sin x) + \frac{d}{dx}(3\cos x) \] \[ y' = 2x + 5\cos x - 3\sin x \] 10. Ta có: \[ y = x^2 + \tan x \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\tan x) \] \[ y' = 2x + \sec^2 x \] 11. Ta có: \[ y = x^2 + \cot x \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\cot x) \] \[ y' = 2x - \csc^2 x \] 12. Ta có: \[ y = 3\tan x + \cot x \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(3\tan x) + \frac{d}{dx}(\cot x) \] \[ y' = 3\sec^2 x - \csc^2 x \] 13. Ta có: \[ y = x^2 + 3\cos x + \tan x \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3\cos x) + \frac{d}{dx}(\tan x) \] \[ y' = 2x - 3\sin x + \sec^2 x \] 14. Ta có: \[ y = 2\sin x - 3\cos x + 2025x \] Đạo hàm của \( y \) theo \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(2\sin x) + \frac{d}{dx}(-3\cos x) + \frac{d}{dx}(2025x) \] \[ y' = 2\cos x + 3\sin x + 2025 \] Câu 3: 15. \( y = 3^2 + 5^2 \) Hàm số này là hằng số, vì vậy đạo hàm của nó sẽ bằng 0. \[ y' = 0 \] 16. \( y = 3' + 3e' \) Các hằng số \( 3 \) và \( 3e \) đều có đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 + 0 = 0 \] 17. \( y = 5^ + 2\sqrt{x} \) Hằng số \( 5^ \) có đạo hàm bằng 0. Đạo hàm của \( 2\sqrt{x} \) là: \[ \frac{d}{dx}(2\sqrt{x}) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] Vậy: \[ y' = 0 + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}} \] 18. \( y = \left(\frac{1}{7}\right) \) Hằng số \( \frac{1}{7} \) có đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 \] 19. \( y = 2^+ 3^{+9} \) Các hằng số \( 2^+ \) và \( 3^{+9} \) đều có đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 + 0 = 0 \] 20. \( y = 2^x + \tan x + x^2 \) - Đạo hàm của \( 2^x \) là \( 2^x \ln 2 \). - Đạo hàm của \( \tan x \) là \( \sec^2 x \). - Đạo hàm của \( x^2 \) là \( 2x \). Vậy: \[ y' = 2^x \ln 2 + \sec^2 x + 2x \] Câu 4: Đáp án chi tiết cho các bài toán đạo hàm Bài 21: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^2 + 3 \ln x \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ y = x^2 + 3 \ln x \] Đạo hàm của \( x^2 \) là \( 2x \). Đạo hàm của \( 3 \ln x \) là \( 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \). Do đó, đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = 2x + \frac{3}{x} \] Bài 22: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x + \log_2 x \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ y = x + \log_2 x \] Đạo hàm của \( x \) là \( 1 \). Đạo hàm của \( \log_2 x \) là \( \frac{1}{x \ln 2} \). Do đó, đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = 1 + \frac{1}{x \ln 2} \] Bài 23: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \log x + \sin x \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ y = \log x + \sin x \] Đạo hàm của \( \log x \) là \( \frac{1}{x} \). Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). Do đó, đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = \frac{1}{x} + \cos x \] Bài 24: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^4 + \log_3 x + 2 \ln(x^2 + x + 3) \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ y = x^4 + \log_3 x + 2 \ln(x^2 + x + 3) \] Đạo hàm của \( x^4 \) là \( 4x^3 \). Đạo hàm của \( \log_3 x \) là \( \frac{1}{x \ln 3} \). Đạo hàm của \( 2 \ln(x^2 + x + 3) \) là \( 2 \cdot \frac{1}{x^2 + x + 3} \cdot (2x + 1) = \frac{2(2x + 1)}{x^2 + x + 3} \). Do đó, đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = 4x^3 + \frac{1}{x \ln 3} + \frac{2(2x + 1)}{x^2 + x + 3} \] Bài 25: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \log_3 x + \log x \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ y = \log_3 x + \log x \] Đạo hàm của \( \log_3 x \) là \( \frac{1}{x \ln 3} \). Đạo hàm của \( \log x \) là \( \frac{1}{x} \). Do đó, đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = \frac{1}{x \ln 3} + \frac{1}{x} \] Bài 26: Tính đạo hàm của hàm số \( y = e^x + \ln x + 3 \sqrt{x} \) Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Ta có: \[ y = e^x + \ln x + 3 \sqrt{x} \] Đạo hàm của \( e^x \) là \( e^x \). Đạo hàm của \( \ln x \) là \( \frac{1}{x} \). Đạo hàm của \( 3 \sqrt{x} \) là \( 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} \). Do đó, đạo hàm của \( y \) là: \[ y' = e^x + \frac{1}{x} + \frac{3}{2\sqrt{x}} \] Câu 5: Để tính đạo hàm của các hàm số đã cho, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức và quy tắc nhân. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng hàm số: Bài 30: \[ y = \frac{x-3}{2x+1} \] Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: \[ u = x - 3 \quad \text{và} \quad v = 2x + 1 \] \[ u' = 1 \quad \text{và} \quad v' = 2 \] Áp dụng công thức: \[ y' = \frac{(1)(2x + 1) - (x - 3)(2)}{(2x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x + 1 - 2x + 6}{(2x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{7}{(2x + 1)^2} \] Bài 31: \[ y = \frac{x-1}{x-3} \] Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: \[ u = x - 1 \quad \text{và} \quad v = x - 3 \] \[ u' = 1 \quad \text{và} \quad v' = 1 \] Áp dụng công thức: \[ y' = \frac{(1)(x - 3) - (x - 1)(1)}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{x - 3 - x + 1}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{-2}{(x - 3)^2} \] Bài 32: \[ y = \frac{x^2 + 3}{x - 1} \] Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: \[ u = x^2 + 3 \quad \text{và} \quad v = x - 1 \] \[ u' = 2x \quad \text{và} \quad v' = 1 \] Áp dụng công thức: \[ y' = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 3)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] Bài 33: \[ y = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} \] Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: \[ u = x^2 + x + 1 \quad \text{và} \quad v = x - 1 \] \[ u' = 2x + 1 \quad \text{và} \quad v' = 1 \] Áp dụng công thức: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 1)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + x - 1 - x^2 - x - 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2} \] Bài 34: \[ y = x^2 \cdot \ln x \] Sử dụng quy tắc nhân: \[ (uv)' = u'v + uv' \] Trong đó: \[ u = x^2 \quad \text{và} \quad v = \ln x \] \[ u' = 2x \quad \text{và} \quad v' = \frac{1}{x} \] Áp dụng công thức: \[ y' = (2x)(\ln x) + (x^2)\left(\frac{1}{x}\right) \] \[ y' = 2x \ln x + x \] Như vậy, các đạo hàm của các hàm số đã cho là: \[ y' = \frac{7}{(2x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-2}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = 2x \ln x + x \]