Cho hình chóp OABC có 3 cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau đôi một tại O, OB = a,OC = OA = a√3. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC).
b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OM

Question

Accepted Answer

{"userId":5420429,"userName":"Minh Long"}

$$ extbf{a)}\ ext{Gọi } O(0,0,0),\ A\left(\frac{a}{3},0,0 ight),\ B(0,a,0),\ C(0,0,\frac{a}{3})$$

$$\Rightarrow \vec{AB} = \left(-\frac{a}{3}, a, 0 ight),\ \vec{AC} = \left(-\frac{a}{3}, 0, \frac{a}{3} ight)$$

$$\vec{n}_{(ABC)} = \vec{AB} imes \vec{AC} = \left(a^2, \frac{a^2}{9}, \frac{a^2}{3} ight)$$

$$ ext{Phương trình mặt (ABC):}\ a^2x + \frac{a^2}{9}y + \frac{a^2}{3}z = d\Rightarrow ext{Thay } A\left(\frac{a}{3}, 0, 0 ight):\ d = a^2 \cdot \frac{a}{3} = \frac{a^3}{3}$$

$$\Rightarrow ext{Khoảng cách:}\ d(O, (ABC)) = \frac{\left| \frac{a^3}{3} ight|}{\sqrt{a^4 + \left(\frac{a^2}{9} ight)^2 +\left(\frac{a^2}{3} ight)^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 + \frac{1}{81} + \frac{1}{9}}}$$

$$ extbf{b)}\ ext{Gọi } M = ext{trung điểm } BC \Rightarrow M = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{6} ight)$$

$$\vec{OM} = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{6} ight),\ \vec{AB} = \left(-\frac{a}{3}, a, 0 ight)$$

$$\vec{n} = \vec{AB} imes \vec{OM} = \left(\frac{a^2}{6}, \frac{a^2}{18}, \frac{a^2}{6} ight)$$

$$\vec{AO} = \left(-\frac{a}{3}, 0, 0 ight)\Rightarrow d(AB, OM) = \frac{|\vec{AO} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|} = \frac{\frac{a^3}{18}}{\sqrt{\left(\frac{a^2}{6} ight)^2 +\left(\frac{a^2}{18} ight)^2 + \left(\frac{a^2}{6} ight)^2}} = \frac{a}{\sqrt{10}}$$

Cho hình chóp OABC có 3 cạnh OA,OB,OC vuông góc với nhau đôi một tại O, OB = a,OC = OA = a√3. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC). b. Tính khoảng cách giữ...