Giúp mình với!

Bài 7: a) Để tính cạnh \( AC \) và \( BC \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) với góc \( \angle ABC = 30^\circ \) và cạnh huyền \( AB = 4 \, \text{cm} \), ta sử dụng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. - Tính \( AC \) (cạnh đối diện góc \( 30^\circ \)): \[ \sin 30^\circ = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2} \] \[ AC = AB \times \sin 30^\circ = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \, \text{cm} \] - Tính \( BC \) (cạnh kề góc \( 30^\circ \)): \[ \cos 30^\circ = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ BC = AB \times \cos 30^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{cm} \] b) Chứng minh rằng \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1\). - Ta có: \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Tính \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ\): \[ \sin^2 30^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] \[ \cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \] \[ \sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \] Vậy, \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1\) đã được chứng minh. Bài 8: Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông cân tại \( A \), ta có: 1. Vì tam giác vuông cân tại \( A \), nên \( AB = AC \). 2. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ABC \): \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] 3. Vì \( AB = AC \), ta có: \[ 2AB^2 = BC^2 \] 4. Thay \( BC = 10 \, \text{cm} \) vào phương trình: \[ 2AB^2 = 10^2 \] \[ 2AB^2 = 100 \] 5. Chia cả hai vế cho 2: \[ AB^2 = 50 \] 6. Lấy căn bậc hai hai vế: \[ AB = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, \text{cm} \] Vậy cạnh \( AB \) là \( 5\sqrt{2} \, \text{cm} \). Bài 9: Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau: a) Tính AC và BC Cho tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), có \( AB = 12 \, \text{cm} \) và \( \tan B = \frac{3}{4} \). 1. Tính AC: Ta có: \[ \tan B = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{4} \] Suy ra: \[ \frac{AC}{12} = \frac{3}{4} \] Giải phương trình trên, ta có: \[ AC = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \, \text{cm} \] 2. Tính BC: Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle ABC \): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay số vào, ta có: \[ BC^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \] Suy ra: \[ BC = \sqrt{225} = 15 \, \text{cm} \] b) Tính số đo góc B Ta có: \[ \tan B = \frac{3}{4} \] Dùng bảng giá trị lượng giác hoặc máy tính, ta tìm được: \[ B \approx 36.87^\circ \] Vậy, các kết quả là: - \( AC = 9 \, \text{cm} \) - \( BC = 15 \, \text{cm} \) - Số đo góc \( B \approx 36.87^\circ \) Bài 10: Để tính độ dài \( AB \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), ta sử dụng tỉ số lượng giác của góc \( C \). Cho biết: - \( AC = 30 \, \text{cm} \) - \(\tan C = \frac{5}{12}\) Trong tam giác vuông, \(\tan C = \frac{\text{đối}}{\text{kề}}\). Ở đây, cạnh đối với góc \( C \) là \( AB \) và cạnh kề là \( AC \). Do đó, ta có phương trình: \[ \tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{12} \] Thay \( AC = 30 \, \text{cm} \) vào phương trình: \[ \frac{AB}{30} = \frac{5}{12} \] Giải phương trình trên để tìm \( AB \): \[ AB = \frac{5}{12} \times 30 \] Tính toán: \[ AB = \frac{5 \times 30}{12} = \frac{150}{12} = 12.5 \, \text{cm} \] Vậy, độ dài \( AB \) là \( 12.5 \, \text{cm} \). Bài 11: Cho tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), ta có: 1. \( AB = 15 \, \text{cm} \). 2. Biết \(\cot B = \frac{5}{13}\), ta có: \[ \cot B = \frac{\text{kề}}{\text{đối}} = \frac{AC}{AB} \] 3. Thay số vào công thức: \[ \frac{AC}{15} = \frac{5}{13} \] 4. Giải phương trình để tìm \( AC \): \[ AC = \frac{5}{13} \times 15 = \frac{75}{13} \] 5. Tính toán: \[ AC \approx 5.77 \, \text{cm} \] Vậy \( AC \approx 5.77 \, \text{cm} \). Bài 12: Để tính các tỉ số lượng giác của góc \(B\) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \(A\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các cạnh của tam giác: - Tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \(A\), nên theo định nghĩa của cosin, ta có: \[ \cos C = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} \] - Giả sử \(AC = 4k\) và \(BC = 5k\) với \(k > 0\). 2. Tính cạnh \(AB\) bằng định lý Pythagore: - Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông: \[ AB^2 = BC^2 - AC^2 = (5k)^2 - (4k)^2 = 25k^2 - 16k^2 = 9k^2 \] - Suy ra: \[ AB = 3k \] 3. Tính các tỉ số lượng giác của góc \(B\): - \(\sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4k}{5k} = \frac{4}{5}\) - \(\cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}\) - \(\tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} = \frac{4k}{3k} = \frac{4}{3}\) - \(\cot B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}\) Vậy, các tỉ số lượng giác của góc \(B\) là: - \(\sin B = \frac{4}{5}\) - \(\cos B = \frac{3}{5}\) - \(\tan B = \frac{4}{3}\) - \(\cot B = \frac{3}{4}\) Bài 13: Để tính các tỉ số lượng giác của góc \( C \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính góc \( C \): Trong tam giác vuông, tổng ba góc bằng \( 180^\circ \). Do đó, ta có: \[ A + B + C = 180^\circ \] Vì \( A = 90^\circ \) và \( B = 50^\circ \), ta suy ra: \[ 90^\circ + 50^\circ + C = 180^\circ \] \[ C = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \] 2. Tính các tỉ số lượng giác của góc \( C \): - Sin \( C \): \[ \sin C = \sin 40^\circ \] - Cos \( C \): \[ \cos C = \cos 40^\circ \] - Tan \( C \): \[ \tan C = \tan 40^\circ \] - Cot \( C \): \[ \cot C = \cot 40^\circ \] 3. Sử dụng bảng giá trị lượng giác hoặc máy tính để tìm các giá trị gần đúng: - \(\sin 40^\circ \approx 0.643\) - \(\cos 40^\circ \approx 0.766\) - \(\tan 40^\circ \approx 0.839\) - \(\cot 40^\circ \approx 1.192\) Vậy, các tỉ số lượng giác của góc \( C \) là: - \(\sin C \approx 0.643\) - \(\cos C \approx 0.766\) - \(\tan C \approx 0.839\) - \(\cot C \approx 1.192\) Bài 14: Để tính các tỉ số lượng giác của góc C trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) vuông tại A, trước tiên ta cần xác định các tỉ số lượng giác của góc B. 1. Tính \(\sin B\): Ta biết rằng trong tam giác vuông, \(\sin^2 B + \cos^2 B = 1\). Với \(\cos B = 0,6\), ta có: \[ \sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64 \] Do đó, \(\sin B = \sqrt{0,64} = 0,8\). 2. Tính các tỉ số lượng giác của góc C: Trong tam giác vuông, góc C và góc B là hai góc nhọn và có tổng bằng \(90^\circ\). Do đó, các tỉ số lượng giác của góc C có thể được tính từ các tỉ số lượng giác của góc B như sau: - \(\sin C = \cos B = 0,6\) - \(\cos C = \sin B = 0,8\) - \(\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4}\) - \(\cot C = \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3}\) Vậy, các tỉ số lượng giác của góc C là: - \(\sin C = 0,6\) - \(\cos C = 0,8\) - \(\tan C = \frac{3}{4}\) - \(\cot C = \frac{4}{3}\) Bài 15: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm độ dài cạnh BC của tam giác vuông ABC. Ta sẽ sử dụng định lý Pythagore, một định lý cơ bản trong hình học cho tam giác vuông. Bước 1: Áp dụng định lý Pythagore Định lý Pythagore phát biểu rằng trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền là BC, và hai cạnh góc vuông là AB và AC. Công thức định lý Pythagore là: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Bước 2: Thay số vào công thức Biết rằng \( AB = 6 \, \text{cm} \) và \( AC = 8 \, \text{cm} \), ta thay vào công thức: \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 \] Tính toán: \[ BC^2 = 36 + 64 \] \[ BC^2 = 100 \] Bước 3: Tìm độ dài BC Lấy căn bậc hai hai vế để tìm BC: \[ BC = \sqrt{100} \] \[ BC = 10 \, \text{cm} \] Vậy, độ dài cạnh BC của tam giác vuông ABC là \( 10 \, \text{cm} \).