Câu 2. Trắc nghiệm đúng/sai. Câu 2. Cho hàm số $y=\log_{\sqrt5}(x^2-2x-3)$ có tập xác định là D .,a) Tập xác định của hàm số là $D=R\setminus\{-1;3\}.$,$b)~\log_{\sqrt5}(x^2-2x-3)=\log_5\sqrt{x^2-2x-3},\forall x\in D$,c) Đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $M(-2;2).$,d) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x=1\pm\sqrt5.$

Question

Accepted Answer

Câu 2:
Tất nhiên, tôi sẵn sàng giúp bạn giải quyết các bài toán trắc nghiệm đúng/sai. Để có thể hỗ trợ bạn tốt nhất, bạn hãy cung cấp cho tôi bài toán cụ thể mà bạn cần giải quyết. Tôi sẽ lập luận từng bước để bạn có thể hiểu rõ cách giải quyết vấn đề.

Câu 2:
Để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số $ y = \log_{\sqrt{5}}(x^2 - 2x - 3) $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Tìm tập xác định $ D $ của hàm số

Điều kiện xác định của hàm số $ y = \log_{\sqrt{5}}(x^2 - 2x - 3) $ là:
$$ x^2 - 2x - 3 > 0 $$

Giải bất phương trình bậc hai:
$$ x^2 - 2x - 3 > 0 $$
$$ (x - 3)(x + 1) > 0 $$

Bảng xét dấu của $ (x - 3)(x + 1) $:

| $ x $       | $ -\infty $ | $ -1 $ | $ 3 $ | $ +\infty $ |
|----------------|----------------|-----------|----------|----------------|
| $ x + 1 $   | -              | 0         | +        | +              |
| $ x - 3 $   | -              | -         | 0        | +              |
| $ (x - 3)(x + 1) $ | +          | 0         | -        | +              |

Từ bảng xét dấu, ta thấy rằng $ (x - 3)(x + 1) > 0 $ khi:
$$ x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 3 $$

Do đó, tập xác định $ D $ của hàm số là:
$$ D = (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) $$

b) Chứng minh $ \log_{\sqrt{5}}(x^2 - 2x - 3) = \log_5 \sqrt{x^2 - 2x - 3} $

Sử dụng tính chất của logarit:
$$ \log_{a^b} c = \frac{1}{b} \log_a c $$

Áp dụng vào bài toán:
$$ \log_{\sqrt{5}}(x^2 - 2x - 3) = \log_{5^{1/2}}(x^2 - 2x - 3) = \frac{1}{1/2} \log_5 (x^2 - 2x - 3) = 2 \log_5 (x^2 - 2x - 3) $$

Mặt khác:
$$ \log_5 \sqrt{x^2 - 2x - 3} = \log_5 (x^2 - 2x - 3)^{1/2} = \frac{1}{2} \log_5 (x^2 - 2x - 3) $$

Do đó:
$$ \log_{\sqrt{5}}(x^2 - 2x - 3) = 2 \log_5 (x^2 - 2x - 3) \neq \log_5 \sqrt{x^2 - 2x - 3} $$

Vậy phát biểu $ \log_{\sqrt{5}}(x^2 - 2x - 3) = \log_5 \sqrt{x^2 - 2x - 3} $ là sai.

c) Kiểm tra đồ thị hàm số đi qua điểm $ M(-2; 2) $

Thay $ x = -2 $ vào hàm số:
$$ y = \log_{\sqrt{5}}((-2)^2 - 2(-2) - 3) = \log_{\sqrt{5}}(4 + 4 - 3) = \log_{\sqrt{5}}(5) $$

Ta có:
$$ \log_{\sqrt{5}}(5) = \log_{5^{1/2}}(5) = \frac{1}{1/2} \log_5 (5) = 2 \cdot 1 = 2 $$

Vậy $ y = 2 $ khi $ x = -2 $, tức là đồ thị hàm số đi qua điểm $ M(-2; 2) $.

d) Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

Đồ thị hàm số cắt trục hoành khi $ y = 0 $:
$$ \log_{\sqrt{5}}(x^2 - 2x - 3) = 0 $$

Chuyển về dạng mũ:
$$ x^2 - 2x - 3 = (\sqrt{5})^0 = 1 $$

Giải phương trình:
$$ x^2 - 2x - 4 = 0 $$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} $$

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $ x = 1 \pm \sqrt{5} $.

Kết luận

a) Tập xác định của hàm số là $ D = (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) $.

b) Phát biểu $ \log_{\sqrt{5}}(x^2 - 2x - 3) = \log_5 \sqrt{x^2 - 2x - 3} $ là sai.

c) Đồ thị hàm số đi qua điểm $ M(-2; 2) $.

d) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $ x = 1 \pm \sqrt{5} $.