Câu 3 nhé. Câu 3. (5,0 điểm),a) Cho khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và $A^\prime A=A^\prime B=A^\prime C=a.$ Biết,góc giữa hai mặt phẳng (BDD'B') và (ABCD) bằng $60^0,$ tính thể tích của khối lăng trụ đã cho,theo a..,b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng $3a,~SA=SB=SD=a\sqrt6$ và tam,giác ABD đều. Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua B và vuông góc với mặt phẳng,(SCD). Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (P) . Tìm giá trị lớn nhất của sin $\alpha.$

Question

Câu 3 nhé. Câu 3. (5,0 điểm),a) Cho khối lăng trụ ABCD.A&#x27;B&#x27;C&#x27;D&#x27; có đáy ABCD là hình vuông và $A^\prime A=A^\prime B=A^\prime C=a.$ Biết,góc giữa hai mặt phẳng (BDD&#x27;B&#x27;) và (ABCD) bằng $60^0,$ tính thể tích của khối lăng trụ đã cho,theo a..,b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng $3a,~SA=SB=SD=a\sqrt6$ và tam,giác ABD đều. Giả sử (P) là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua B và vuông góc với mặt phẳng,(SCD). Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (P) . Tìm giá trị lớn nhất của sin $\alpha.$

Accepted Answer

Câu 3:
Tất nhiên, tôi sẽ giúp bạn giải quyết bài toán theo các quy tắc đã nêu. Bạn có bài toán cụ thể nào cần giải không? Hãy cho tôi biết để tôi có thể hỗ trợ bạn tốt nhất.

Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

Phần a)

Cho khối lăng trụ $ ABCD.A'B'C'D' $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông và $ A'A = A'B = A'C = a $. Biết góc giữa hai mặt phẳng $ (BDD'B') $ và $ (ABCD) $ bằng $ 60^\circ $, tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo $ a $.

Bước 1: Xác định hình chiếu của $ A' $ lên mặt phẳng $ (ABCD) $

Vì $ A'A = A'B = A'C = a $, điểm $ A' $ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $ tại tâm của tam giác đều $ \triangle ABC $. Gọi $ O $ là tâm của tam giác đều $ \triangle ABC $, ta có $ OA = OB = OC = \frac{a\sqrt{3}}{3} $.

Bước 2: Tính chiều cao của khối lăng trụ

Góc giữa hai mặt phẳng $ (BDD'B') $ và $ (ABCD) $ là góc giữa đường thẳng $ A'O $ và mặt phẳng $ (ABCD) $, bằng $ 60^\circ $. Do đó, ta có:
$$
\cos 60^\circ = \frac{OA}{A'A} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{h}
$$
Suy ra:
$$
\frac{1}{2} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{h} \Rightarrow h = \frac{a\sqrt{3}}{3} \times 2 = \frac{2a\sqrt{3}}{3}
$$

Bước 3: Tính thể tích của khối lăng trụ

Thể tích của khối lăng trụ là:
$$
V = S_{ABCD} \times h = a^2 \times \frac{2a\sqrt{3}}{3} = \frac{2a^3\sqrt{3}}{3}
$$

Phần b)

Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh bằng $ 3a $, $ SA = SB = SD = a\sqrt{6} $ và tam giác $ ABD $ đều. Giả sử $ (P) $ là mặt phẳng thay đổi, luôn đi qua $ B $ và vuông góc với mặt phẳng $ (SCD) $. Gọi $ \alpha $ là góc giữa đường thẳng $ BD $ và mặt phẳng $ (P) $. Tìm giá trị lớn nhất của $ \sin \alpha $.

Bước 1: Xác định các yếu tố hình học

Vì $ ABD $ là tam giác đều cạnh $ 3a $, nên $ BD = 3a $. Mặt phẳng $ (P) $ đi qua $ B $ và vuông góc với $ (SCD) $, do đó $ (P) $ chứa đường thẳng $ BD $.

Bước 2: Tính góc $ \alpha $

Góc $ \alpha $ là góc giữa $ BD $ và mặt phẳng $ (P) $. Vì $ (P) $ chứa $ BD $, nên góc $ \alpha = 0^\circ $.

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của $ \sin \alpha $

Vì $ \alpha = 0^\circ $, nên $ \sin \alpha = \sin 0^\circ = 0 $.

Do đó, giá trị lớn nhất của $ \sin \alpha $ là $ 0 $.

Kết luận: 
- Thể tích của khối lăng trụ là $ \frac{2a^3\sqrt{3}}{3} $.
- Giá trị lớn nhất của $ \sin \alpha $ là $ 0 $.