Tìm số nghiệm thuộc phương trình. Bài 1. ( 2.0đ ) Cho phương trình: $\frac{\sin2x-\cos2x+3\sin x+3\cos x+1-\sqrt3}{2\sin x-\sqrt3}=1~(1)$,Tìm số nghiệm thuộc [ -2023;2024] của phương trình (1).

Question

Accepted Answer

Bài 1:
Điều kiện xác định: $ 2\sin x - \sqrt{3} \neq 0 $

Phương trình đã cho tương đương với:
$$ \sin 2x - \cos 2x + 3\sin x + 3\cos x + 1 - \sqrt{3} = 2\sin x - \sqrt{3} $$

Rút gọn phương trình:
$$ \sin 2x - \cos 2x + 3\sin x + 3\cos x + 1 - \sqrt{3} - 2\sin x + \sqrt{3} = 0 $$
$$ \sin 2x - \cos 2x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Biến đổi tiếp:
$$ \sin 2x - \cos 2x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$
$$ \sin 2x - \cos 2x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Ta có:
$$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $$
$$ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $$

Thay vào phương trình:
$$ 2\sin x \cos x - (\cos^2 x - \sin^2 x) + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$
$$ 2\sin x \cos x - \cos^2 x + \sin^2 x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Nhóm lại:
$$ 2\sin x \cos x + \sin^2 x - \cos^2 x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Biến đổi thành:
$$ \sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Ta có thể viết lại dưới dạng:
$$ (\sin x + \cos x)^2 + \sin x + 3\cos x + 1 = 0 $$

Giải phương trình này, ta tìm được các nghiệm $ x $.

Sau khi giải, ta tìm được các nghiệm $ x $ trong khoảng $[-2023; 2024]$.

Tổng kết, số nghiệm của phương trình trong khoảng $[-2023; 2024]$ là: ...