Giup mik vs

Câu 4: Để tìm điểm cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \( y = -x^3 + 4x^2 - 5x + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 4x^2 - 5x + 1) = -3x^2 + 8x - 5 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 8x - 5 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, ta sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = -3 \), \( b = 8 \), \( c = -5 \): \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(-3)(-5)}}{2(-3)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 60}}{-6} = \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{-6} = \frac{-8 \pm 2}{-6} \] Từ đó, ta có: \[ x_1 = \frac{-8 + 2}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-8 - 2}{-6} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm bậc nhất hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 8x - 5) = -6x + 8 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = -6(1) + 8 = 2 > 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực tiểu)} \] - Tại \( x = \frac{5}{3} \): \[ y''\left(\frac{5}{3}\right) = -6\left(\frac{5}{3}\right) + 8 = -10 + 8 = -2 < 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực đại)} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 4(1)^2 - 5(1) + 1 = -1 + 4 - 5 + 1 = -1 \] - Tại \( x = \frac{5}{3} \): \[ y\left(\frac{5}{3}\right) = -\left(\frac{5}{3}\right)^3 + 4\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{3}\right) + 1 \] \[ = -\frac{125}{27} + \frac{100}{9} - \frac{25}{3} + 1 \] \[ = -\frac{125}{27} + \frac{300}{27} - \frac{225}{27} + \frac{27}{27} \] \[ = \frac{-125 + 300 - 225 + 27}{27} = \frac{77}{27} \] 5. Kết luận: - Điểm cực đại \( x = \frac{5}{3} \) và giá trị cực đại \( y = \frac{77}{27} \) - Điểm cực tiểu \( x = 1 \) và giá trị cực tiểu \( y = -1 \) 6. Tính \( a - b \): \[ a = \frac{5}{3}, \quad b = -1 \] \[ a - b = \frac{5}{3} - (-1) = \frac{5}{3} + 1 = \frac{5}{3} + \frac{3}{3} = \frac{8}{3} \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{8}{3}} \] Câu 5: Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = (x^2 - 4)(3 - x)(x + 2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các nghiệm của đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = (x^2 - 4)(3 - x)(x + 2) \] Ta thấy rằng \( f'(x) = 0 \) khi: \[ (x^2 - 4) = 0 \quad \text{hoặc} \quad (3 - x) = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x + 2) = 0 \] Giải các phương trình này: \[ x^2 - 4 = 0 \implies x = \pm 2 \] \[ 3 - x = 0 \implies x = 3 \] \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \] Vậy các nghiệm của \( f'(x) \) là \( x = -2, 2, 3 \). 2. Xác định dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng xác định: Ta sẽ xét dấu của \( f'(x) \) trong các khoảng \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, 3) \), và \( (3, \infty) \). - Khoảng \( (-\infty, -2) \): Chọn \( x = -3 \): \[ f'(-3) = ((-3)^2 - 4)(3 - (-3))((-3) + 2) = (9 - 4)(6)(-1) = 5 \cdot 6 \cdot (-1) = -30 \quad (\text{âm}) \] - Khoảng \( (-2, 2) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0^2 - 4)(3 - 0)(0 + 2) = (-4)(3)(2) = -24 \quad (\text{âm}) \] - Khoảng \( (2, 3) \): Chọn \( x = 2.5 \): \[ f'(2.5) = ((2.5)^2 - 4)(3 - 2.5)(2.5 + 2) = (6.25 - 4)(0.5)(4.5) = 2.25 \cdot 0.5 \cdot 4.5 = 5.0625 \quad (\text{dương}) \] - Khoảng \( (3, \infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = (4^2 - 4)(3 - 4)(4 + 2) = (16 - 4)(-1)(6) = 12 \cdot (-1) \cdot 6 = -72 \quad (\text{âm}) \] 3. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang âm, không phải điểm cực trị. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 3 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, là điểm cực đại. Vậy hàm số \( y = f(x) \) có 2 điểm cực trị. Đáp án: A. 2. Câu 6: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( f(x) = \log_{\frac{f_2}{2}}(4x - 3) \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( f(x) = \log_{\frac{f_2}{2}}(4x - 3) \) có nghĩa khi \( 4x - 3 > 0 \). Do đó: \[ 4x - 3 > 0 \implies x > \frac{3}{4} \] Vậy, tập xác định của hàm số là \( D = \left( \frac{3}{4}, +\infty \right) \). 2. Xác định tính chất của cơ số của logarit: Cơ số của logarit là \( \frac{f_2}{2} \). Để hàm số \( f(x) \) nghịch biến, cơ số \( \frac{f_2}{2} \) phải nằm trong khoảng \( (0, 1) \). Điều này có nghĩa là: \[ 0 < \frac{f_2}{2} < 1 \implies 0 < f_2 < 2 \] 3. Xác định khoảng nghịch biến: Với \( 0 < \frac{f_2}{2} < 1 \), hàm số \( f(x) = \log_{\frac{f_2}{2}}(4x - 3) \) sẽ nghịch biến trên toàn bộ miền xác định của nó, tức là trên khoảng \( \left( \frac{3}{4}, +\infty \right) \). Do đó, hàm số \( f(x) = \log_{\frac{f_2}{2}}(4x - 3) \) nghịch biến trên khoảng \( \left( \frac{3}{4}, +\infty \right) \). Vậy đáp án đúng là: \[ B.~(1;+\infty) \] Câu 7: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$, ta cần quan sát đồ thị và tìm khoảng mà đồ thị đi lên từ trái sang phải. 1. Khoảng $(-1;0)$: - Trên khoảng này, đồ thị đi xuống từ $y = 1$ tại $x = -1$ đến $y = -3$ tại $x = 0$. - Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng này. 2. Khoảng $(1;3)$: - Trên khoảng này, đồ thị đi lên từ $y = -3$ tại $x = 1$ đến $y = 3$ tại $x = 3$. - Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. 3. Khoảng $(0;2)$: - Trên khoảng này, đồ thị đi lên từ $y = -3$ tại $x = 0$ đến $y = 3$ tại $x = 2$. - Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. 4. Khoảng $(-3;-1)$: - Trên khoảng này, đồ thị đi lên từ $y = -3$ tại $x = -3$ đến $y = 1$ tại $x = -1$. - Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng này. Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(1;3)$, $(0;2)$ và $(-3;-1)$. Trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là $B.~(1;3)$. Câu 9: Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). 1. Xét dấu của \( f'(x) \): - \( f'(x) > 0 \) trên các khoảng: \((- \infty, -3)\), \((-2, -1)\), \((0, 1)\), \((2, 3)\). - \( f'(x) < 0 \) trên các khoảng: \((-3, -2)\), \((-1, 0)\), \((1, 2)\), \((3, +\infty)\). 2. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -3 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = -3 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = -2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = -2 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 0 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, nên \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 3 \): \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, nên \( x = 3 \) là điểm cực đại. 3. Kết luận: - Hàm số \( y = f(x) \) có 7 điểm cực trị. Vậy đáp án đúng là C. 7.