giải chi tiết

Bài 3: Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, chúng ta có thể làm theo các bước sau: 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm của hàm số. 3. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn. 4. Xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng bảng biến thiên để xác định các khoảng tăng giảm của hàm số. 5. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các biên của tập xác định (nếu có). Dưới đây là một ví dụ cụ thể: Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) trên đoạn \([-2, 2]\). 1. Tập xác định: Hàm số \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) xác định trên toàn bộ \(\mathbb{R}\), nên trên đoạn \([-2, 2]\) cũng xác định. 2. Tính đạo hàm: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \] 3. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \] Các điểm tới hạn là \( x = 1 \) và \( x = -1 \). 4. Xét dấu của đạo hàm: - Khi \( x < -1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( -1 < x < 1 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm). - Khi \( x > 1 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng). 5. So sánh giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn và tại các biên của đoạn \([-2, 2]\): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] \[ f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \] \[ f(2) = 2^3 - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 \] So sánh các giá trị: \[ f(-2) = 0, \quad f(-1) = 4, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 4 \] Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\) là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2, 2]\) là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, đạt được khi \( x = -2 \) hoặc \( x = 1 \). Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \) trên đoạn \([1; 5]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 6x - 9 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = 3 \quad \text{và} \quad x = -1 \] 3. Loại bỏ nghiệm \( x = -1 \) vì nó nằm ngoài khoảng \([1; 5]\). 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn còn lại và tại các đầu mút của đoạn \([1; 5]\): - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 9(1) + 5 = 1 - 3 - 9 + 5 = -6 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22 \] - Tại \( x = 5 \): \[ y(5) = 5^3 - 3(5)^2 - 9(5) + 5 = 125 - 75 - 45 + 5 = 10 \] 5. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: - \( y(1) = -6 \) - \( y(3) = -22 \) - \( y(5) = 10 \) Giá trị lớn nhất trong các giá trị này là 10. Kết luận: Giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 \) trên đoạn \([1; 5]\) là 10, đạt được khi \( x = 5 \). Đáp án đúng là: C. 10. Câu 2: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^2 e^x \) trên đoạn \([-3; 2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^2 e^x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 e^x) \] Sử dụng quy tắc nhân: \[ y' = x^2 \cdot e^x + e^x \cdot 2x = e^x (x^2 + 2x) \] 2. Tìm các điểm tới hạn bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \): \[ e^x (x^2 + 2x) = 0 \] Vì \( e^x \neq 0 \) với mọi \( x \), nên: \[ x^2 + 2x = 0 \] Giải phương trình này: \[ x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] 3. Đánh giá hàm số tại các điểm tới hạn và tại các đầu mút của đoạn \([-3; 2]\): - Tại \( x = -3 \): \[ y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = 9 e^{-3} \] - Tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = 4 e^{-2} \] - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^2 e^0 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^2 e^2 = 4 e^2 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị lớn nhất: \[ y(-3) = 9 e^{-3}, \quad y(-2) = 4 e^{-2}, \quad y(0) = 0, \quad y(2) = 4 e^2 \] Ta thấy rằng \( 4 e^2 \) là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( y = x^2 e^x \) trên đoạn \([-3; 2]\) là \( 4 e^2 \). Đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~4e^2} \] Câu 3: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-2; 1]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đầu mút của đoạn: - Tại \( x = -2 \), từ đồ thị, ta thấy \( f(-2) = 0 \). - Tại \( x = 1 \), từ đồ thị, ta thấy \( f(1) = -3 \). 2. Xác định các điểm cực trị trong đoạn \([-2; 1]\): - Quan sát đồ thị, ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu trong đoạn \([-2; 1]\) tại \( x = 0 \) với \( f(0) = -4 \). 3. So sánh các giá trị: - Giá trị tại các điểm đã xác định là: \( f(-2) = 0 \), \( f(0) = -4 \), \( f(1) = -3 \). 4. Kết luận: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-2; 1]\) là \(-4\), đạt được khi \( x = 0 \). Vậy, đáp án đúng là D. -4. Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 2 \) trên đoạn \([-1, 2]\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 12x + 2) = 6x^2 + 6x - 12 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị: \[ 6x^2 + 6x - 12 = 0 \] Chia cả hai vế cho 6: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \] 3. Kiểm tra các điểm cực trị và các đầu mút của đoạn \([-1, 2]\): - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 12(-1) + 2 = -2 + 3 + 12 + 2 = 15 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) + 2 = 2 + 3 - 12 + 2 = -5 \] - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) + 2 = 16 + 12 - 24 + 2 = 6 \] 4. Xác định giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m): - Giá trị lớn nhất \( M \) là 15 (tại \( x = -1 \)). - Giá trị nhỏ nhất \( m \) là -5 (tại \( x = 1 \)). 5. Tính tỉ số \( \frac{M}{m} \): \[ \frac{M}{m} = \frac{15}{-5} = -3 \] Vậy tỉ số \( \frac{M}{m} \) bằng \(-3\). Đáp án: B. -3. Câu 5: Để giải bài toán này, ta cần xác định giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 2]\) dựa vào đồ thị. 1. Xác định giá trị lớn nhất (M): - Quan sát đồ thị, ta thấy điểm cao nhất trên đoạn \([-1; 2]\) là tại \( x = 1 \) với \( y = 3 \). - Do đó, giá trị lớn nhất \( M = 3 \). 2. Xác định giá trị nhỏ nhất (m): - Quan sát đồ thị, ta thấy điểm thấp nhất trên đoạn \([-1; 2]\) là tại \( x = -1 \) với \( y = -2 \). - Do đó, giá trị nhỏ nhất \( m = -2 \). 3. Tính tổng \( M + m \): - \( M + m = 3 + (-2) = 1 \). Vậy, \( M + m = 1 \). Đáp án đúng là D. 1.