Tính m² + n². Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AC vuông góc với,mặt phẳng (SBD) và $AB=SD=a,AD=SB=2a.$ Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và,BD bằng $a\sqrt{\frac mn},$ với $\frac mn$ là phân số tối giản. Tính $m^2+n^2$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định hình học của hình chóp:

- Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, do đó AB // CD và AB vuông góc với AD.
   - Các cạnh của hình chóp được cho là: $ AB = SD = a $ và $ AD = SB = 2a $.
   - AC vuông góc với mặt phẳng (SBD), điều này có nghĩa là AC vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBD).

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD:

- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD, ta cần tìm một mặt phẳng trung gian chứa một trong hai đường thẳng và vuông góc với đường thẳng còn lại.
   - Do AC vuông góc với mặt phẳng (SBD), ta có thể chọn mặt phẳng (SAC) vuông góc với BD.
   - Khoảng cách giữa SA và BD chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD trong mặt phẳng (SAC).

3. Tính toán cụ thể:

- Trong mặt phẳng (SAC), ta có AC vuông góc với BD. Do đó, khoảng cách từ A đến BD chính là độ dài đoạn thẳng AH, với H là hình chiếu vuông góc của A lên BD.
   - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH, ta có:
     $$
     AH = \frac{AB \cdot AD}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \frac{a \cdot 2a}{\sqrt{a^2 + (2a)^2}} = \frac{2a^2}{\sqrt{5a^2}} = \frac{2a}{\sqrt{5}}
     $$

4. So sánh với khoảng cách đã cho:

- Theo đề bài, khoảng cách giữa SA và BD là $ a\sqrt{\frac{m}{n}} $.
   - So sánh với kết quả tính được, ta có:
     $$
     \frac{2a}{\sqrt{5}} = a\sqrt{\frac{m}{n}}
     $$
   - Suy ra:
     $$
     \frac{2}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{m}{n}}
     $$
   - Bình phương hai vế, ta được:
     $$
     \frac{4}{5} = \frac{m}{n}
     $$
   - Do đó, $ m = 4 $ và $ n = 5 $.

5. Tính $ m^2 + n^2 $:

- Tính $ m^2 + n^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 $.

Vậy, giá trị của $ m^2 + n^2 $ là 41.